Derivabilità e quindi continuità...
Ciao, a scuola il nostro professore ci ha enunciato il teorema secondo il quale una funzione derivabile è anche continua ma non viceversa.
Hp lim h che tende a 0 del rapporto incrementale è uguale alla derivata nel punto x con 0.
Ts, il limite per x che tende a x con 0 della funzione f(x)=f(xo), cioè tale funzione è continua.
Nella dimostrazione mi trovo subito di fronte al concetto di identità; volevo sapere se potevo applicare il concetto di identità degli indiscernibili di Leibniz, per il quale se x e y hanno in comune tutte le proprietà X=Y, pensavo questo dato che le funzioni derivabili sono sottinsiemi di quelle continue e quindi godono delle stesse proprietà.
Hp lim h che tende a 0 del rapporto incrementale è uguale alla derivata nel punto x con 0.
Ts, il limite per x che tende a x con 0 della funzione f(x)=f(xo), cioè tale funzione è continua.
Nella dimostrazione mi trovo subito di fronte al concetto di identità; volevo sapere se potevo applicare il concetto di identità degli indiscernibili di Leibniz, per il quale se x e y hanno in comune tutte le proprietà X=Y, pensavo questo dato che le funzioni derivabili sono sottinsiemi di quelle continue e quindi godono delle stesse proprietà.
Risposte
Aheee?! 
Ma quali indiscernibili... Semplicemente, se $X$ è aperto e non vuoto in $\mathbb{R}$ euclideo ed $f: X \to \mathbb{R}$ è una funzione derivabile in un p.to $x_0 \in X$, allora per definizione esiste finito $\lim_{x\to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0)$. Questo allora significa che $\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) \cdot \lim_{x \to x_0} (x-x_0) = 0$, per il teorema del limite di un prodotto. Dunque $f(x) \to f(x_0)$, per $x \to x_0$, e di conseguenza $f$ è continua in $x_0$.
Ma quali indiscernibili... Semplicemente, se $X$ è aperto e non vuoto in $\mathbb{R}$ euclideo ed $f: X \to \mathbb{R}$ è una funzione derivabile in un p.to $x_0 \in X$, allora per definizione esiste finito $\lim_{x\to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) = f'(x_0)$. Questo allora significa che $\lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0)) = \lim_{x \to x_0} (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) \cdot \lim_{x \to x_0} (x-x_0) = 0$, per il teorema del limite di un prodotto. Dunque $f(x) \to f(x_0)$, per $x \to x_0$, e di conseguenza $f$ è continua in $x_0$.
Secondo te è dimostrabile anche in quell'altro modo?
Davvero non so cosa siano gli "indiscernibili di Leibniz"... Forse si mangiano?
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