Derivabilità di una funzione definita a tratti
Buonasera a tutti. Devo studiare e classificare gli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione definita a tratti:
$y=\{(x^2cos(1/x)),(0):}$
Rispettivamente per $x≠0$ e $x=0$.
Calcolando i limiti destro e sinistro nell'intorno di $x=0$, la funzione risulta essere continua. Pertanto è continua in tutto $R$
Ho calcolato la derivata:
$y'=\{(2x*cos(1/x)-sen(1/x)),(0):}$
Sempre per $x≠0$ e $x=0$.
Adesso arriva il mio dubbio: posso affermare direttamente che la funzione è derivabile in tutto il suo dominio, in quanto il dominio della derivata coincide con il dominio della funzione?
Oppure devo necessariamente calcolare i limiti destro e sinistro della derivata nel punto 0 e verificare che coincidano con la derivata per x=0? E in quest'ultimo caso, come?
$y=\{(x^2cos(1/x)),(0):}$
Rispettivamente per $x≠0$ e $x=0$.
Calcolando i limiti destro e sinistro nell'intorno di $x=0$, la funzione risulta essere continua. Pertanto è continua in tutto $R$
Ho calcolato la derivata:
$y'=\{(2x*cos(1/x)-sen(1/x)),(0):}$
Sempre per $x≠0$ e $x=0$.
Adesso arriva il mio dubbio: posso affermare direttamente che la funzione è derivabile in tutto il suo dominio, in quanto il dominio della derivata coincide con il dominio della funzione?
Oppure devo necessariamente calcolare i limiti destro e sinistro della derivata nel punto 0 e verificare che coincidano con la derivata per x=0? E in quest'ultimo caso, come?
Risposte
Ciao Rey
Mi sembra che nella derivata ci sia un segno sbagliato... se non erro dovrebbe essere $2x cos(1/x)+sin (1/x)$
dopodichè farei la seconda cosa che hai detto... l'unico punto in discussione è evidentemente $x=0$ quindi fai limiti destro e sinistro di $y'$... se coincidono $y$ è derivabile... se no hai punto angoloso o cuspide o flesso tangente verticale
Attenzione però a questi limiti che credo ci sia una difficoltà, a prima vista mi sembrano oscillanti
Mi sembra che nella derivata ci sia un segno sbagliato... se non erro dovrebbe essere $2x cos(1/x)+sin (1/x)$
dopodichè farei la seconda cosa che hai detto... l'unico punto in discussione è evidentemente $x=0$ quindi fai limiti destro e sinistro di $y'$... se coincidono $y$ è derivabile... se no hai punto angoloso o cuspide o flesso tangente verticale
Attenzione però a questi limiti che credo ci sia una difficoltà, a prima vista mi sembrano oscillanti
M'ha anticipato mazzarri - o meglio, mi si è sconnesso internet mentre scrivevo. 
Comunque anche a seconda vista sono oscillanti, se aiuta puoi porre $t=1/x$ e, ad esempio, per quello che tende a $0^+$ avere
$lim_(t->+\infty) (2cos(t)/t+sin(t))$
che, di fatti, non esiste. Te ne basta uno diverso da $0$, inutile calcolare anche l'altro no?
Comunque anche a seconda vista sono oscillanti, se aiuta puoi porre $t=1/x$ e, ad esempio, per quello che tende a $0^+$ avere
$lim_(t->+\infty) (2cos(t)/t+sin(t))$
che, di fatti, non esiste. Te ne basta uno diverso da $0$, inutile calcolare anche l'altro no?
Grazie per le risposte e scusate per l'errore di segno
La mia difficoltà nasce proprio dal fatto che i limiti siano oscillanti, posso solo affermare che il loro risultato è compreso tra -1 ed 1. Il problema è che il risultato dell'esercizio mi dice che la funzione è derivabile
La mia difficoltà nasce proprio dal fatto che i limiti siano oscillanti, posso solo affermare che il loro risultato è compreso tra -1 ed 1. Il problema è che il risultato dell'esercizio mi dice che la funzione è derivabile
E provare invece a verificare la derivabilitá in $x=0$ facendo uso della definizione di derivata?
$lim_(h to 0) (h^2 cos (1/h)-0)/h=...$
$lim_(h to 0) (h^2 cos (1/h)-0)/h=...$
io calcolerei la derivata usando la formula $(Delta(f))/(Delta(x))=(f((xo)+h)-f(xo))/h$
praticamente al prosto di ogni $x$ che vedi sostituisci dentro $(xo + h)$
$((xo + h)^2cos(1/((xo)+h))-(xo)^2xcos(1/(xo)))/(h)$
ora a $xo$ sostituisci $0$
$(h^2cos(1/h)-0cos(1/0))/h$
semplifico la $h^2$
$(hcos(1/h)-0cos(1/0))$
ora faccio il limite di $h->0$ e dovrebbe venire $0cos(+oo)=0$ fa $0$ perchè la funzione coseno come quella seno quando cè $lim_(x->+oo)senx$ per esempio il limite oscilla ma non va mai all'infinito quindi se faccio $0cos(+oo)=0$.
Non so se è giusto, anch'io ho delle difficolta in matematica....vediamo cosa dicono gli altri
Cordiali saluti
praticamente al prosto di ogni $x$ che vedi sostituisci dentro $(xo + h)$
$((xo + h)^2cos(1/((xo)+h))-(xo)^2xcos(1/(xo)))/(h)$
ora a $xo$ sostituisci $0$
$(h^2cos(1/h)-0cos(1/0))/h$
semplifico la $h^2$
$(hcos(1/h)-0cos(1/0))$
ora faccio il limite di $h->0$ e dovrebbe venire $0cos(+oo)=0$ fa $0$ perchè la funzione coseno come quella seno quando cè $lim_(x->+oo)senx$ per esempio il limite oscilla ma non va mai all'infinito quindi se faccio $0cos(+oo)=0$.
Non so se è giusto, anch'io ho delle difficolta in matematica....vediamo cosa dicono gli altri
Cordiali saluti
@ramarro: la funzione in $x=0$ vale $0$.
Espressioni come $cos(1/0)$ sono prive di significato.
Espressioni come $cos(1/0)$ sono prive di significato.
@Pallit: Sì, ho appena trovato che il procedimento da utilizzare in questi casi è proprio quello di applicare la definizione di derivata.
Grazie a tutti
Grazie a tutti
@Rey]X[z: Comunque a mio avviso l'errore più grave lo commetti qua:
nell'affermare che la derivata in $x=0$ vale $0$, prima della discussione successiva sulla derivabilità in $x=0$.
"Rey:
X[z":3ixioajs]Ho calcolato la derivata:
$y'=\{(2x*cos(1/x)-sen(1/x)),(0):}$
Sempre per $x≠0$ e $x=0$.
nell'affermare che la derivata in $x=0$ vale $0$, prima della discussione successiva sulla derivabilità in $x=0$.
Ok, ho capito. In effetti sarebbe un controsenso nel caso in cui la funzione non fosse derivabile in quel punto 
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