Derivabilità di una funzione
Buona sera a tutti, chiedo per l'ennesima volta il vostro aiuto. Devo stabilire per quali valori reali di a e b la seguente funzione è derivabile in R:
$f()x={(e^x + a,if x<=1),(log (b*x),if x<1):}$
è giusto il ragionamento per cui una funzione è derivabile se continua in tutto l'intervallo?
e una funzione è continua se $lim_{x \to \x_0} f(x) = f(x_0)$ con $x_0$ elemento dell'intervallo?
Se ho detto una serie di baggianate chiedo scusa
$f()x={(e^x + a,if x<=1),(log (b*x),if x<1):}$
è giusto il ragionamento per cui una funzione è derivabile se continua in tutto l'intervallo?
e una funzione è continua se $lim_{x \to \x_0} f(x) = f(x_0)$ con $x_0$ elemento dell'intervallo?
Se ho detto una serie di baggianate chiedo scusa
Risposte
la continuità non implica la derivabiltà.. la funzione $|x|$ è continua in tutto R, ma non è derivabile in $x=0$
Quindi devi prima trovare una relazione che leghi a e b affinchè la funzione sia continua. Eppoi anche affinchè sia derivabile.
Il problema nella tua funzione è che sia derivabile e continua in $x=1$. In primo luogo deve essere continua. Quindi $e^1+a=logb$ da cui $a=logb-e$. Poi calcoli le due derivate che dovrebbero essere : $e^x$ e $1/x$ nel punto x=1 questi devono coincidere, quindi $e=1$. Cosa non vera. quindi qualsiasi valori che dai ad a e b, la funzione non sarà mai derivabile in quel punto. Ho fatto i calcoli velocemente,prova a rivederli.
Quindi devi prima trovare una relazione che leghi a e b affinchè la funzione sia continua. Eppoi anche affinchè sia derivabile.
Il problema nella tua funzione è che sia derivabile e continua in $x=1$. In primo luogo deve essere continua. Quindi $e^1+a=logb$ da cui $a=logb-e$. Poi calcoli le due derivate che dovrebbero essere : $e^x$ e $1/x$ nel punto x=1 questi devono coincidere, quindi $e=1$. Cosa non vera. quindi qualsiasi valori che dai ad a e b, la funzione non sarà mai derivabile in quel punto. Ho fatto i calcoli velocemente,prova a rivederli.
"kekko89":
la continuità non implica la derivabiltà.. la funzione $|x|$ è continua in tutto R, ma non è derivabile in $x=0$
Quindi devi prima trovare una relazione che leghi a e b affinchè la funzione sia continua. Eppoi anche affinchè sia derivabile.
Il problema nella tua funzione è che sia derivabile e continua in $x=1$. In primo luogo deve essere continua. Quindi $e^1+a=logb$ da cui $a=logb-e$. Poi calcoli le due derivate che dovrebbero essere : $e^x$ e $1/x$ nel punto x=1 questi devono coincidere, quindi $e=1$. Cosa non vera. quindi qualsiasi valori che dai ad a e b, la funzione non sarà mai derivabile in quel punto. Ho fatto i calcoli velocemente,prova a rivederli.
è una delle 4 opzioni che ho a disposizione. Ora mi rileggo con calma la spiegazione che mi hai dato. grazie mille
Provo a vedere se ho capito, ho la seguente funzione di cui devo dire se è derivabile in R:
$f()x={(e^a*x,if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
La funzione è continua in 0 con $b = 1$ in quanto $e^(a*0) = 3*0 + b$
Calcolo le derivate prime in 0 ed ottengo $a$ per la prima e $3$ per la seconda. Quindi la funzione è derivabile in tutto R per $a=3$ ?
$f()x={(e^a*x,if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
La funzione è continua in 0 con $b = 1$ in quanto $e^(a*0) = 3*0 + b$
Calcolo le derivate prime in 0 ed ottengo $a$ per la prima e $3$ per la seconda. Quindi la funzione è derivabile in tutto R per $a=3$ ?
La soluzione è quella della funzione $f(x)={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$, che è diversa da quella che hai postato
"@melia":
La soluzione è quella della funzione $f(x)={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$, che è diversa da quella che hai postato
Non ho capito, ma è un altro esercizio il secondo che ho messo. Volevo sapere se l'ho risolto bene...
"ThomasNO":
Provo a vedere se ho capito, ho la seguente funzione di cui devo dire se è derivabile in R:
$f()x={(e^a*x,if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
La funzione è continua in 0 con $b = 1$ in quanto $e^(a*0) = 3*0 + b$
Calcolo le derivate prime in 0 ed ottengo $a$ per la prima e $3$ per la seconda. Quindi la funzione è derivabile in tutto R per $a=3$ ?
è vero che è diverso da quello scritto da @melia, però il tuo procedimento vale per quello scritto da @melia e non per il tuo!
tu scrivi $e^(a*0) = 3*0 + b$ come se nel testo la x fosse all'esponente, se invece dovesse essere $e^a*x,if x<0$, allora dovresti scrivere $e^a*0 = 3*0 + b$, ottenendo b=0 e non b=1.
OK? ciao.
"adaBTTLS":
[quote="ThomasNO"]Provo a vedere se ho capito, ho la seguente funzione di cui devo dire se è derivabile in R:
$f()x={(e^a*x,if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
La funzione è continua in 0 con $b = 1$ in quanto $e^(a*0) = 3*0 + b$
Calcolo le derivate prime in 0 ed ottengo $a$ per la prima e $3$ per la seconda. Quindi la funzione è derivabile in tutto R per $a=3$ ?
è vero che è diverso da quello scritto da @melia, però il tuo procedimento vale per quello scritto da @melia e non per il tuo!
tu scrivi $e^(a*0) = 3*0 + b$ come se nel testo la x fosse all'esponente, se invece dovesse essere $e^a*x,if x<0$, allora dovresti scrivere $e^a*0 = 3*0 + b$, ottenendo b=0 e non b=1.
OK? ciao.[/quote]
Ho sbagliato a scrivere il testo e non me ne ero accorto. La funzione corretta è questa:
$f()x={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
Come quella scritta da @melia. Presumo quindi sia giusto il procedimento...
sì, anche per le derivate il procedimento è giusto se il testo è quello "corretto", cioè come quello scritto da @melia, quindi {a=3, b=1}. ciao.
scusami,in ogni funzione postata, metti $if x<0$ e nell'altra porzione di funzione scrivi $if x<=0$. Di sicuro c'è un errore,perchè penso che la funzione che devi studiare sia divisa in due parti: una a sinistra dello zero, e una a destra. E infatti per la continuità e la derivabilità studi appunto la funzione a $0^+$ e $0^-$. Visto che è un errore che hai postato più volte(penso sia solo disattenzione) ti conviene correggerlo.
"ThomasNO":[/quote][/quote]
[quote="adaBTTLS"][quote="ThomasNO"]
$f()x={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x<=0):}$
E maggiore di 0 mai? Mi sa devi cambiare di verso una disequazione
Si scusate di nuovo il testo è:
$f()x={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x>=0):}$
Un'ultima domanda su questo tipo di esercizio, la funzione è derivabile per $a = 3$ e $b = 1$ contemporanemente, non solo per $a = 3$ ? giusto?
$f()x={(e^(a*x),if x<0),((3*x +b),if x>=0):}$
Un'ultima domanda su questo tipo di esercizio, la funzione è derivabile per $a = 3$ e $b = 1$ contemporanemente, non solo per $a = 3$ ? giusto?
La funzione è continua se $ b=1 $ ; è derivabile se $a=3 ; b=1 $.
"Camillo":
La funzione è continua se $ b=1 $ ; è derivabile se $a=3 ; b=1 $.
Ora credo mi sia tutto chiaro. Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo