Derivabilità di funzione definita a tratti
Data la seguente funzione:
$ f(x) = { ( 2e^x - 1),( (x+1)^2 ),( 4x):} $ per $ { ( x <= 0),(0=1):} $
Devo determinare dove essa sia derivabile.
Non riporto tutti i calcoli, ma, studiando la continuità nei 'punti di raccordo' $ x= 0 $ e $ x = 1 $, scopro che la funzione è continua su tutto l'asse reale.
A questo punto, essendo continua, per vedere se essa è anche derivabile mi basta solo calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale nei vari intervalli.
1) $ x=0 $,
$ lim_(h -> 0^-) (f(0^+ + h)-f(0^+))/h = +oo $ (considero infatti il ramo: $ 2e^x - 1 $)
$ lim_(h -> 0^+) (f(0^+ + h)-f(0^+))/h = 2 $ (considero infatti il ramo $ (x+1)^2 $
La funzione non è quindi derivabile in $ x=0 $ perchè:
- i limiti dx e sx sono due valori diversi
- uno dei due limiti non è finito
2) $x=1 $
$ lim_(h -> 1^-) (f(1^(-)+ h)-f(1^-))/h = 5 $ (considero infatti il ramo: $ (x+1)^2 $)
$ lim_(h -> 1^+) (f(1^(+)+ h)-f(1^+))/h = 4 $ (considero infatti il ramo: $ 4x $)
La funzione non è quindi derivabile in $ x=0 $ perchè:
- i limiti dx e sx sono due valori diversi
Eppure la soluzione è: derivabile in $ R $.
Idee?
$ f(x) = { ( 2e^x - 1),( (x+1)^2 ),( 4x):} $ per $ { ( x <= 0),(0
Devo determinare dove essa sia derivabile.
Non riporto tutti i calcoli, ma, studiando la continuità nei 'punti di raccordo' $ x= 0 $ e $ x = 1 $, scopro che la funzione è continua su tutto l'asse reale.
A questo punto, essendo continua, per vedere se essa è anche derivabile mi basta solo calcolare i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale nei vari intervalli.
1) $ x=0 $,
$ lim_(h -> 0^-) (f(0^+ + h)-f(0^+))/h = +oo $ (considero infatti il ramo: $ 2e^x - 1 $)
$ lim_(h -> 0^+) (f(0^+ + h)-f(0^+))/h = 2 $ (considero infatti il ramo $ (x+1)^2 $
La funzione non è quindi derivabile in $ x=0 $ perchè:
- i limiti dx e sx sono due valori diversi
- uno dei due limiti non è finito
2) $x=1 $
$ lim_(h -> 1^-) (f(1^(-)+ h)-f(1^-))/h = 5 $ (considero infatti il ramo: $ (x+1)^2 $)
$ lim_(h -> 1^+) (f(1^(+)+ h)-f(1^+))/h = 4 $ (considero infatti il ramo: $ 4x $)
La funzione non è quindi derivabile in $ x=0 $ perchè:
- i limiti dx e sx sono due valori diversi
Eppure la soluzione è: derivabile in $ R $.
Idee?
Risposte
Ricalcola il limite a $0^-$, perché lo hai sbagliato.
Ricalcolato, fa $ 2 $ e quindi è derivabile in $ x=0 $.
Ma in $ x= 1 $ con i miei calcoli resta sempre non derivabile.
Ma in $ x= 1 $ con i miei calcoli resta sempre non derivabile.
Ciao 
Allora una funzione è derivabile quando il dominio della derivata coincide con quello della funzione e se è continua nel dominio.
Quindi data
$ f(x) = { ( 2e^x - 1),( (x+1)^2 ),( 4x):} $ per $ { ( x <= 0),(0=1):} $
$f'(x)= { (2e^x), (2(x+1)),(4):}$ per ${(x<=0),(0=1):}$
Il dominio è $RR$ per entrambe, dobbiamo verificarne la continuità.
Una condizione sufficiente per la continuità è che il limite destro e sinistro di una funzione in un punto siano uguale, quindi dato che gli unici problemi sono dove si "cambia funzione" ( non trovavo un modo più felice di dirlo )
$f'(0)=2$
$f'(0^+)=2(0+1)=2$
$f'(1^-)=2(1+1)=4$
$f'(1)=4$
Quindi è derivabile in tutto il suo dominio, cioè tutto $RR$
Allora una funzione è derivabile quando il dominio della derivata coincide con quello della funzione e se è continua nel dominio.
Quindi data
$ f(x) = { ( 2e^x - 1),( (x+1)^2 ),( 4x):} $ per $ { ( x <= 0),(0
$f'(x)= { (2e^x), (2(x+1)),(4):}$ per ${(x<=0),(0
Il dominio è $RR$ per entrambe, dobbiamo verificarne la continuità.
Una condizione sufficiente per la continuità è che il limite destro e sinistro di una funzione in un punto siano uguale, quindi dato che gli unici problemi sono dove si "cambia funzione" ( non trovavo un modo più felice di dirlo
)$f'(0)=2$
$f'(0^+)=2(0+1)=2$
$f'(1^-)=2(1+1)=4$
$f'(1)=4$
Quindi è derivabile in tutto il suo dominio, cioè tutto $RR$
Grazie mille!
Quindi, ricapitolando con un altro esempio:
"Per determinare dove la funzione sia derivabile, devo:
1) determinare il dominio della funzione e della sua derivata; se sono uguali, è derivabile, se non lo sono, non lo è;
2) se è derivabile, studiarne la continuità"
Presa questa funzione:
$ h(x) = { ( 1/(1-x^2) ),( e^(x^2 - 2x)),( 2x-3 ):} $ per $ h(x) = { (x <= 0 ),( 0 < x < 2),( x >=2):} $
Trovo che il dominio coincide ( $ R ~ (-1) $ ), quindi è derivabile.
Calcolando i limiti destro e sinistro delle derivate (giusto?) ottengo:
$ f'(0^-)= 0 != f'(0^+) = -2 $ e quindi non continua in 0 e quindi neanche derivabile;
$ f'(2^-)= 2 = f'(2^+) $ e quindi derivabile in $ x=2$
Concludendo: la funzione è derivabile in $R$ tranne che in $x=0$ dove non è continua, e in $x=-1$, dove non esiste.
Quindi, ricapitolando con un altro esempio:
"Per determinare dove la funzione sia derivabile, devo:
1) determinare il dominio della funzione e della sua derivata; se sono uguali, è derivabile, se non lo sono, non lo è;
2) se è derivabile, studiarne la continuità"
Presa questa funzione:
$ h(x) = { ( 1/(1-x^2) ),( e^(x^2 - 2x)),( 2x-3 ):} $ per $ h(x) = { (x <= 0 ),( 0 < x < 2),( x >=2):} $
Trovo che il dominio coincide ( $ R ~ (-1) $ ), quindi è derivabile.
Calcolando i limiti destro e sinistro delle derivate (giusto?) ottengo:
$ f'(0^-)= 0 != f'(0^+) = -2 $ e quindi non continua in 0 e quindi neanche derivabile;
$ f'(2^-)= 2 = f'(2^+) $ e quindi derivabile in $ x=2$
Concludendo: la funzione è derivabile in $R$ tranne che in $x=0$ dove non è continua, e in $x=-1$, dove non esiste.
Quindi, se i domini di $f(x)$ e $f'(x)$ non coincidono come procedo?
Semplicemente 'la funzione non è derivabile', ma studio comunque la continuità (perchè potrebbe essere continua ma non derivabile)?
Semplicemente 'la funzione non è derivabile', ma studio comunque la continuità (perchè potrebbe essere continua ma non derivabile)?
Serve che $dom(f) sube dom(D)$, se questo non accade allora la funzione non è derivabile.
Un esempio potrebbe essere $sqrt(x+1)$.
Il dominio è $[-1,+oo[$
La sua derivata è $1/(2sqrt(x+1))$.
Il dominio è $]-1,+oo[$ quindi è ovvio che non sia derivabile in tutto il dominio e quindi la funzione originale non è derivabile(in tutto il dominio)
Un esempio potrebbe essere $sqrt(x+1)$.
Il dominio è $[-1,+oo[$
La sua derivata è $1/(2sqrt(x+1))$.
Il dominio è $]-1,+oo[$ quindi è ovvio che non sia derivabile in tutto il dominio e quindi la funzione originale non è derivabile(in tutto il dominio)
E, a questo punto, come faccio a determinare dove sia derivabile?
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