Derivabilità

[Nicholas_ASR]

Ciao a tutti domani ho un compito in classe e non ho ancora ben capito come faccio a dire che una funzione è derivabile o no. Cioè se mi danno una funzione e mi chiedono se la funzione è derivabile cosa devo fare?

[giammaria2]

Devi innanzi tutto guardare se la funzione è continua; in caso contrario non può essere derivabile. I casi di non derivabilità si presentano di solito quando
- si ha un cambiamento di definizione e l'esempio più frequente sono i valori assoluti. Calcoli allora la derivata destra e quella sinistra: se in quel punto assumono lo stesso valore la funzione è derivabile.
- il dominio della derivata esclude qualche punto che invece rientrava nel dominio dell funzione (capita con radici di indici dispari). In questo caso dici subito che lì la funzione non è derivabile perché la derivata non esiste.

Esempio:
1) $f(x)=x^2+|x-2|$, cioè
$f(x)={(x^2+x-2ifx>=2),(x^2-x+2 ifx<2):}$
Verifichi facilmente che in $x=2$ la funzione è continua; derivando ottieni
$f'(x)={(2x+1 if x>2),(2x-1 ifx<2):}$ (ti faccio notare che non c'è l'uguale prima del $2$). Si ha
$lim_(x->2^+)f'(x)=lim_(x->2^+)(2x+1)=5$
$lim_(x->2^-)f'(x)=lim_(x->2^-)(2x-1)=3$
Sono valori diversi, quindi in $x=2$ la funzione non è derivabile. Lo sarebbe stata se avessi trovato due valori uguali.