Delucidazioni su prodotto scalare
Vorrei chiarire un po di dubbi sull'perazione di prodotto scalare.
Perchè è utile, sopratutto in fisica nella definizione di lavoro, qual'è la dimostrazione della formula: $v*w=vwcosalpha$ ?
Perchè è utile, sopratutto in fisica nella definizione di lavoro, qual'è la dimostrazione della formula: $v*w=vwcosalpha$ ?
Risposte
Procediamo con una dimostrazione abbastanza semplice, facendo riferimento alla seguente figura:
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 55 55 105 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 55 55 90 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 25 105 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 100 35 4 3 0 1 0 * v - w
TY 80 55 4 3 0 1 0 * v
TY 70 35 4 3 0 1 0 * w
CV 0 59 52 62 52 60 55 0
TY 63 49 4 3 0 0 0 * α[/fcd]
Definizione.
Nella nostra analisi tornerà utile anche la definizione di norma euclidea di un vettore v:
$|| \mathbf{v} ||:=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$
Osservando la figura (considerando implicitamente alcune proprietà del prodotto scalare) notiamo che:
$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
Inoltre, applicando il teorema dei coseni al triangolo riportato in figura:
$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
Uguagliando i secondi membri delle due precedenti relazioni:
$|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v}||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2|| \mathbf{v}|||| \mathbf{w}||\cos(\alpha )$
e semplificando
$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
$square$
Dal punto di vista geometrico puoi interpretare il prodotto scalare come proiezione ortogonale del vettore w sulla retta parallela al vettore v.
Questa interpretazione e' utilissima per comprendere meglio il significato di lavoro.
La forza ortogonale alla traiettoria (di spostamento) non compie lavoro; la forza parallela si'.
Interpretando w come una forza e v come uno spostamento, allora stai calcolando la componente parallela a v utile al lavoro.
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 55 55 105 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 55 55 90 25 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 90 25 105 55 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 100 35 4 3 0 1 0 * v - w
TY 80 55 4 3 0 1 0 * v
TY 70 35 4 3 0 1 0 * w
CV 0 59 52 62 52 60 55 0
TY 63 49 4 3 0 0 0 * α[/fcd]
Definizione.
Si definisce prodotto scalare l'applicazione $\cdot \:\mathbb{R}^{\text{3}}\times\mathbb{R}^{\text{3}} \mapsto \mathbb{R}$ che associa ai vettori v e w lo scalare $\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$
Nella nostra analisi tornerà utile anche la definizione di norma euclidea di un vettore v:
$|| \mathbf{v} ||:=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$
Osservando la figura (considerando implicitamente alcune proprietà del prodotto scalare) notiamo che:
$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
Inoltre, applicando il teorema dei coseni al triangolo riportato in figura:
$|| \mathbf{v}-\mathbf{w} ||^{2}=(\mathbf{v}-\mathbf{w})\cdot (\mathbf{v}-\mathbf{w})=|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
Uguagliando i secondi membri delle due precedenti relazioni:
$|| \mathbf{v} ||^{2}+|| \mathbf{w}||^{2} -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v}||^{2}+|| \mathbf{w} ||^{2} -2|| \mathbf{v}|||| \mathbf{w}||\cos(\alpha )$
e semplificando
$\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=|| \mathbf{v} |||| \mathbf{w} ||\cos(\alpha )$
$square$
Dal punto di vista geometrico puoi interpretare il prodotto scalare come proiezione ortogonale del vettore w sulla retta parallela al vettore v.
Questa interpretazione e' utilissima per comprendere meglio il significato di lavoro.
La forza ortogonale alla traiettoria (di spostamento) non compie lavoro; la forza parallela si'.
Interpretando w come una forza e v come uno spostamento, allora stai calcolando la componente parallela a v utile al lavoro.
Perfetto, ora ho capito, grazie mille!
Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?
Personalmente, sarà l'ultima volta che rispondo ad una tua domanda di questo tipo.
Non sei autorizzato ad avere un dubbio del genere, se scrivi di lavoro, prodotti scalari e cosi' via.
Il disegno seguente dovrebbe parlare da solo
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 112 109 162 109 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 112 109 147 79 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 120 103 4 3 0 0 0 * α
TY 137 109 4 3 0 1 0 * v
TY 127 89 4 3 0 1 0 * w
CV 0 116 106 119 106 117 109 0
LI 88 60 103 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 98 70 4 3 0 1 0 * v - w
TY 78 90 4 3 0 1 0 * v
TY 68 70 4 3 0 1 0 * w
LI 53 90 103 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 53 90 88 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 57 87 60 87 58 90 0
TY 61 84 4 3 0 0 0 * α
LI 18 120 68 120 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 146 79 196 79 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 103 90 68 120 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 162 109 197 79 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 33 95 4 3 0 1 6 * -w
LI 53 90 18 120 6
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 48 110 4 3 0 1 7 * v - w
LI 53 90 68 120 7
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 151 85 4 3 0 1 7 * v + w
LI 112 109 197 79 7
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
Non sei autorizzato ad avere un dubbio del genere, se scrivi di lavoro, prodotti scalari e cosi' via.
Il disegno seguente dovrebbe parlare da solo
[fcd="figura"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 112 109 162 109 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 112 109 147 79 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 120 103 4 3 0 0 0 * α
TY 137 109 4 3 0 1 0 * v
TY 127 89 4 3 0 1 0 * w
CV 0 116 106 119 106 117 109 0
LI 88 60 103 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 98 70 4 3 0 1 0 * v - w
TY 78 90 4 3 0 1 0 * v
TY 68 70 4 3 0 1 0 * w
LI 53 90 103 90 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 53 90 88 60 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
CV 0 57 87 60 87 58 90 0
TY 61 84 4 3 0 0 0 * α
LI 18 120 68 120 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 146 79 196 79 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 103 90 68 120 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 162 109 197 79 2
FCJ 0 0 3 2 1 0
TY 33 95 4 3 0 1 6 * -w
LI 53 90 18 120 6
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 48 110 4 3 0 1 7 * v - w
LI 53 90 68 120 7
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 151 85 4 3 0 1 7 * v + w
LI 112 109 197 79 7
FCJ 2 0 3 2 0 0[/fcd]
"ZfreS":
Ma perchè quel segmento che unisce i due vettori è la differenza dei due e non la somma?
Riguarda la regola del parallelogramma
Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.
"ZfreS":
Ok, scusa per il dubbio stupido. Grazie per avermelo spiegato.
Personalmente ritengo che non bisognerebbe mai scusarsi per un dubbio, nessun dubbio è stupido!
Nessuno si deve scusare e nessun dubbio è stupido, ovviamente.
@ZfreS, ad ogni modo continua cosi' perché sono sicuro che una buona parte dei "laureati" non saprebbero rispondere alla domanda originale di questo thread
Il solo fatto che tu pensi alla dimostrazione, ti mette su un livello più alto, ma allo stesso tempo devi esigere un maggior sacrificio e severità verso te stesso.
Continua cosi'!
@ZfreS, ad ogni modo continua cosi' perché sono sicuro che una buona parte dei "laureati" non saprebbero rispondere alla domanda originale di questo thread
Il solo fatto che tu pensi alla dimostrazione, ti mette su un livello più alto, ma allo stesso tempo devi esigere un maggior sacrificio e severità verso te stesso.
Continua cosi'!
Grazie per l'incoraggiamento! Ma perchè queste dimostrazioni non si trovano nei libri? Almeno quelli da liceo, quelli universitari non so.
"ZfreS":"Nei libri" queste dimostrazioni non le trovi, ma trovi altre cazzate. Prima che tu ti faccia una confusione assurda (come emerge da certi tuoi post), se hai interesse per queste cose (o per loro applicazioni) studiale con criterio da un testo universitario.
Ma perch[é] queste dimostrazioni non si trovano nei libri?
Va bene, in tal caso devo prendere in considerazione algebra lineare? Quale libro andrebbe bene per autodidatta?
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