Delucidazioni quesito 3 liceo brocca
"Sia R la regione delimitata per $ x in [ 0, pi ] $, della curva y=senx e dall'asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all'asse y. Si calcoli W."
Ho controllato alcune soluzioni e ho notato che l'integrale in questione faceva riferimento a F(y)=arcseny. La funzione senx, però, non è invertibilie nell'intervallo [ 0, pigreco ] e per questo motivo è necessario considerare F(y) nel solo intervallo [ 0, picreco mezzi ] mentre da $ [pi/2, pi] $ era necessario ingegnarsi per trovare una soluzione.
Ciò che non capisco è: perchè la funzione y=arcsenx ha un codominio limitato? Questo è dovuto al fatto che l'unico intervallo invertibile - in cui la funzione è biettiva - è proprio compreso tra $ - pi/2 e pi/2 $
Un'altra domanda che mi sono posto è: se in un problema ci troviamo di fronte al calcolo di un'area compresa tra una funzione trigonometrica, in cui in genere sull'asse delle x sono espressi i gradi dell'angolo della suddetta funzione , e una razionale qualsiasi, come agire? Sono giunto alla conclusione che è necessario, come tra l'altro mostrano programmi come derive, esprimere i valori dell'asse x non come gradi di un angolo ma in termini algebrici. In questo modo l'angolo $ pi $ corrisponde a 3,14... , l'angolo $ pi/2 $ a 1,57... e così via. E' corretta questa interpretazione personale?
Ho controllato alcune soluzioni e ho notato che l'integrale in questione faceva riferimento a F(y)=arcseny. La funzione senx, però, non è invertibilie nell'intervallo [ 0, pigreco ] e per questo motivo è necessario considerare F(y) nel solo intervallo [ 0, picreco mezzi ] mentre da $ [pi/2, pi] $ era necessario ingegnarsi per trovare una soluzione.
Ciò che non capisco è: perchè la funzione y=arcsenx ha un codominio limitato? Questo è dovuto al fatto che l'unico intervallo invertibile - in cui la funzione è biettiva - è proprio compreso tra $ - pi/2 e pi/2 $
Un'altra domanda che mi sono posto è: se in un problema ci troviamo di fronte al calcolo di un'area compresa tra una funzione trigonometrica, in cui in genere sull'asse delle x sono espressi i gradi dell'angolo della suddetta funzione , e una razionale qualsiasi, come agire? Sono giunto alla conclusione che è necessario, come tra l'altro mostrano programmi come derive, esprimere i valori dell'asse x non come gradi di un angolo ma in termini algebrici. In questo modo l'angolo $ pi $ corrisponde a 3,14... , l'angolo $ pi/2 $ a 1,57... e così via. E' corretta questa interpretazione personale?
Risposte
Il codominio di una funzione dipende esclusivamente dal suo dominio! La risposta a "perché il codominio di arcseno è limitato?" è "perché quello è l'intervallo di valori che la funzione assume quando [tex]x[/tex] varia nel dominio che le hai dato".
L'intervallo [tex][-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] non è l'unico che possa essere scelto [ce ne sono infiniti altri validi] però è "il più comodo", o "il più bello". Insomma, quello che si sceglie per convenzione.
Quello che dici non ha molto senso :S
I valori che metti sull'asse delle ascisse quando fai il grafico di seno o coseno non sono gradi di niente: sono numeri reali normalissimi!
Infatti il radiante è, per definizione, un numero puro.
Ciò che cambia e che vedi cambiare è l'unità di misura che viene presa sulle ascisse, e che in un caso piuttosto che in un altro è più comoda; non si possono peraltro prendere sia l'unità sia [tex]\pi[/tex] come unità di misura perché questi numeri sono incommensurabili.
Se devi fare su un piano i grafici, ad esempio, di [tex]y=x[/tex] e [tex]y=\sin x[/tex] allora scegli di volta in volta l'unità di misura più comoda.
L'intervallo [tex][-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex] non è l'unico che possa essere scelto [ce ne sono infiniti altri validi] però è "il più comodo", o "il più bello". Insomma, quello che si sceglie per convenzione.
"gianni.erario":
Un'altra domanda che mi sono posto è: se in un problema ci troviamo di fronte al calcolo di un'area compresa tra una funzione trigonometrica, in cui in genere sull'asse delle x sono espressi i gradi dell'angolo della suddetta funzione , e una razionale qualsiasi, come agire? Sono giunto alla conclusione che è necessario, come tra l'altro mostrano programmi come derive, esprimere i valori dell'asse x non come gradi di un angolo ma in termini algebrici. In questo modo l'angolo $ pi $ corrisponde a 3,14... , l'angolo $ pi/2 $ a 1,57... e così via. E' corretta questa interpretazione personale?
Quello che dici non ha molto senso :S
I valori che metti sull'asse delle ascisse quando fai il grafico di seno o coseno non sono gradi di niente: sono numeri reali normalissimi!
Infatti il radiante è, per definizione, un numero puro.
Ciò che cambia e che vedi cambiare è l'unità di misura che viene presa sulle ascisse, e che in un caso piuttosto che in un altro è più comoda; non si possono peraltro prendere sia l'unità sia [tex]\pi[/tex] come unità di misura perché questi numeri sono incommensurabili.
Se devi fare su un piano i grafici, ad esempio, di [tex]y=x[/tex] e [tex]y=\sin x[/tex] allora scegli di volta in volta l'unità di misura più comoda.