Delucidazione limiti notevoli

[DaFnE1]

Buonasera, ho bisogno di nuovo di un paio di dritte riguardo a dei limiti notevoli.
Non capisco il perchè il mio libro di testo universitario proceda in questo modo nello svolgere questi limiti.. (libro Marcellini-Sbordone)

$lim_(x->+oo)(logsqrt(x+1))/x$
$1/2(log(x+1)/(x+1))((x+1)/x)=0$

Io avevo piuttosto provato a moltiplicare e dividere tutto per $sqrt(x+1)$ anche se ovviamente non sono andata poi molto lontana....-.-'

L'altra invece..

$lim_(x->+oo)log(x^3+1)/x$
$3 (log root(3)(x^3+1)/root(3)(x^3+1))(root(3)(x^3+1)/x)=0$

e quest'altra..

$lim_(x->+oo)x^2[log(x^2+2)-2logx]$

Adesso.. i primi passaggi li condivido, infatti anch'io mi sono mossa in modo analogo.. ossia:

$x^2[log(x^2+2)-logx^2]$
$x^2[log (x^2+2)/x^2]$

a questo punto io avevo fatto questo ragionamento:
siccome so che i log sono infiniti di ordine inferiore riaspetto a qualsiasi potenza, tutto quello dentro [] lo consideravo 0..e quindi mi "rimaneva" +oo per 0, ma sono di nuovo in una forma indeterminata.
Il libro quindi continua così..

$2[x^2/2[log(1+2/x^2)]] ->2$

Potreste spiegarmi il perchè di questi passaggi??
Ovviamente non devo seguire per forza le vie suggerite dal libro, in altri sono andata per la mia strada (a volte decisamente più lunga =.=' però sono arrivata!), ma visto che con questi da sola non andavo da nessuna parte.. ho provato a basarmi su quanto suggerito dal testo,ma invano..-.-'
Grazie!^.-

[G.D.5]

"DaFnE":
$lim_(x->+oo)(logsqrt(x+1))/x$
$1/2(log(x+1)/(x+1))((x+1)/x)=0$

$\frac{\log\sqrt{x+1}}{x}=\frac{\log(x+1)^{\frac{1}{2}}}{x}=\frac{1}{2}\frac{log(x+1)}{x}=\frac{1}{2}\frac{\log(x+1)}{x+1}\frac{x+1}{x}$.

[G.D.5]

"DaFnE":
$lim_(x->+oo)log(x^3+1)/x$
$3 (log root(3)(x^3+1)/root(3)(x^3+1))(root(3)(x^3+1)/x)=0$

$\frac{\log(x^{3}+1)}{x}=\frac{\log\root{3}{x^{3}+1}^{3}}{x}=3\frac{\log\root{3}{x^{3}+1}}{x}=3\frac{\log\root{3}{x^{3}+1}}{\root{3}{x^{3}+1}}\frac{\root{3}{x^{3}+1}}{x}$.

[G.D.5]

Anche il terzo è una banale applicazione delle proprietà dei logaritmi.

[DaFnE1]

Ah ok!..chissà che andavo a pensare io!grazie!

[G.D.5]

Prego.