Definizioni elementari nell'insiememe dei numeri razionali
Mi sono nati dei dubbi.....io comunque le cose le vedo così:
$1$
$a-b+c-d=a+(-b+c-d)=>a+(-b+c-d)=a-b+c-d$
Definizione: per aggiungere ad un numero una somma basta aggiungere ogni addendo della somma col proprio segno.
Osservazione: questa definizione è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
$2$
$a-b+c-d$
$-a+b-c+d$
Definizione: per ottenere l'opposto di una somma basta cambiare il segno a tutti gli addendi che la compongono.
Osservazione: $-14=-7-5-2=>2-14=2-7-5-2$, per cui anche in questo caso è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
$3$
$a-b+c-d=a-(b-c+d)=a+(-b+c-d)=a-b+c-d$
Definizione: per sottrarre da un numero una somma basta aggiungere a quel numero tutti gli addendi cambiandone il segno.
Anche in questo caso è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
Andiamo a vedere il prodotto:
$4*(0)=0$
$a*b=0<=>a=0vvb=0$
Quì c'è la definizione di prodotto tra un numero relativo e lo zero.
$4*(+1)=4$
Quì c'e la definizione di prodotto tra un numero relativo e 1.
$4*(-1)=-4$
Quì c'è la definizione di prodotto tra un numero relativo e -1.
$(4-7+1/3)*(-1)=-4+7-1/3$
Quì c'è la definizione di prodotto tra una somma e il relativo e -1:
per moltiplicare una somma per -1 basta cambiare il segno a tutti gli addendi.
$1$
$a-b+c-d=a+(-b+c-d)=>a+(-b+c-d)=a-b+c-d$
Definizione: per aggiungere ad un numero una somma basta aggiungere ogni addendo della somma col proprio segno.
Osservazione: questa definizione è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
$2$
$a-b+c-d$
$-a+b-c+d$
Definizione: per ottenere l'opposto di una somma basta cambiare il segno a tutti gli addendi che la compongono.
Osservazione: $-14=-7-5-2=>2-14=2-7-5-2$, per cui anche in questo caso è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
$3$
$a-b+c-d=a-(b-c+d)=a+(-b+c-d)=a-b+c-d$
Definizione: per sottrarre da un numero una somma basta aggiungere a quel numero tutti gli addendi cambiandone il segno.
Anche in questo caso è una conseguenza della proprietà dissociativa dell'addizione.
Andiamo a vedere il prodotto:
$4*(0)=0$
$a*b=0<=>a=0vvb=0$
Quì c'è la definizione di prodotto tra un numero relativo e lo zero.
$4*(+1)=4$
Quì c'e la definizione di prodotto tra un numero relativo e 1.
$4*(-1)=-4$
Quì c'è la definizione di prodotto tra un numero relativo e -1.
$(4-7+1/3)*(-1)=-4+7-1/3$
Quì c'è la definizione di prodotto tra una somma e il relativo e -1:
per moltiplicare una somma per -1 basta cambiare il segno a tutti gli addendi.
Risposte
Perdonami, ma non ho capito cosa stai chiedendo. Potresti essere un po' più esplicito?
Sono un po' perplessa sulla proprietà "dissociativa", che per me NON è una proprietà, ma solo un modo diverso di leggere la proprietà associativa. Si parla di proprietà dissociativa solo alla scuola elementare e alla scuola media inferiore dove si suppone ci siano delle difficoltà a costruire il percorso inverso. Poi si parla solo di proprietà associativa.
Sono perplessa anche nella scrittura $a-b$ perché non capisco il segno $-$ se sia un segno di operazione, in questo caso si parla di sottrazione tra due numeri, o se invece è il segno di $b$, per cui il segno di operazione somma $+$ è sottinteso. In questo secondo caso, siccome stai parlano di numeri con segno, quindi numeri relativi, non ha senso scrivere $-b$, perché se $b$ è un numero relativo già dentro $b$ c'è un segno che può essere $+$ o $-$, scrivere $-b$ significa prendere l'opposto di $b$, cioè $b$ cambiato di segno, il quale può essere positivo o negativo a seconda del segno di $b$.
Se nei numeri razionali assoluti scrivi $8-3 -1=4$ la forma è una sottrazione che va eseguita come è stata scritta, prima $8-3$ e poi al risultato sottrai $1$, nella quale non sottintendi niente. Ma se stai lavorando con i numeri relativi, quindi numeri dotati di segno, quella scrittura sottintende un po' di segni che hai soppresso:
potrebbe essere un'addizione $(+8)+(-3)+ (-1)= [(+8)+(-3)]+ (-1)= (+8)+[(-3)+ (-1)]=(+4)$ nella quale vale la proprietà associativa
potrebbe essere una sottrazione $(+8)-(+3)-(+1) = (+4)$ nella quale la proprietà associativa non vale, infatti $(+8)-[(+3)-(+1)] != [(+8)-(+3)]-(+1)$
Sono perplessa anche nella scrittura $a-b$ perché non capisco il segno $-$ se sia un segno di operazione, in questo caso si parla di sottrazione tra due numeri, o se invece è il segno di $b$, per cui il segno di operazione somma $+$ è sottinteso. In questo secondo caso, siccome stai parlano di numeri con segno, quindi numeri relativi, non ha senso scrivere $-b$, perché se $b$ è un numero relativo già dentro $b$ c'è un segno che può essere $+$ o $-$, scrivere $-b$ significa prendere l'opposto di $b$, cioè $b$ cambiato di segno, il quale può essere positivo o negativo a seconda del segno di $b$.
Se nei numeri razionali assoluti scrivi $8-3 -1=4$ la forma è una sottrazione che va eseguita come è stata scritta, prima $8-3$ e poi al risultato sottrai $1$, nella quale non sottintendi niente. Ma se stai lavorando con i numeri relativi, quindi numeri dotati di segno, quella scrittura sottintende un po' di segni che hai soppresso:
potrebbe essere un'addizione $(+8)+(-3)+ (-1)= [(+8)+(-3)]+ (-1)= (+8)+[(-3)+ (-1)]=(+4)$ nella quale vale la proprietà associativa
potrebbe essere una sottrazione $(+8)-(+3)-(+1) = (+4)$ nella quale la proprietà associativa non vale, infatti $(+8)-[(+3)-(+1)] != [(+8)-(+3)]-(+1)$
Ma se siamo nei relativi dovremmo sempre intendere quella scrittura come una "somma algebrica" cioè il segno dell'operazione sarebbe sempre il $+$ dato che abbiamo "abolito" la sottrazione sostituendola con la somma dell'opposto, no?
Infatti, ma in tal caso anche scrivere in una formula $a-b$ per poi tradurlo in $5-7$ non ha molto senso.
"@melia":
Infatti, ma in tal caso anche scrivere in una formula $a-b$ per poi tradurlo in $5-7$ non ha molto senso.
Il "meno" della formula è il segno dell'operazione mentre il "meno" tra i numeri è il segno del $7$; forse i dubbi che ha sono questi? Io, sinceramente, non avevo capito che dubbi avesse ...
Però a pensarci bene, penso siano pochi quelli che si pongono il problema dello stesso segno usato per due concetti differenti (a questo livello o fuori dall'ambito di chi fa matematica intendo ...); è tale l'abitudine e la meccanicità che il concetto sfugge ...
Cordialmente, Alex
Metto un'pò di chiarezza a me stesso....pensando di aver capito le tue osservazioni. Grazie intanto a tutti Voi per i consigli!
@melia ha scritto: Sono un po' perplessa sulla proprietà "dissociativa", che per me NON è una proprietà, ma solo un modo diverso di leggere la proprietà associativa.
Qui vuoi dire che la proprietà dissociativa, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, è una conseguenza dell'associativa. Quindi io, secondo te, dovevo parlare di proprietà associativa dell'addizione. Nota: in molti testi delle superiori si parla comunque ancora di propriètà dissociativa.
@melia ha scritto: sono perplessa anche nella scrittura $ a-b $ Qui intendo la differenza tra due numeri razionali (a, b, c, d sono numeri relativi)
Tradurre $a-b$
in $2-7$ per esempio, come dici tu e pensando che la formula segna una differenza, non ha senso perchè posso solo intendere $2-(-7)vv2-(+7)$ , diverso il caso di $ 2-7$ che può essere visto anche com $2+(-7)$ (concetto di somma algebrica)
Nel punto $2$ stavo cercando di giustificare l'opposto di una somma partendo dall'opposto di un numero:
l'opposto di $14$ è uguale a $-14$, quindi se $14=7+5+2$ l'opposto di $7+5+2$= $(-7)+(-5)+(-2)$
(Nell'esempio di prima del precedente post intendevo una somma) e la proprietà (dissociativa) associativa sembra giustificare questo: l'opposto di una somma deriva dalla proprietà (dissociativa) associativa.
Osservazione: non posso tradurre $(-7)+(-5)+(-2)$ come $-7-(+5)-(+2)$ e applicare poi la proprietà (dissociativa) associativa perchè ho modificato il segno dei tre addendi: il segno deve rimanere negativo.
Aspetto pareri
@melia ha scritto: Sono un po' perplessa sulla proprietà "dissociativa", che per me NON è una proprietà, ma solo un modo diverso di leggere la proprietà associativa.
Qui vuoi dire che la proprietà dissociativa, per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza, è una conseguenza dell'associativa. Quindi io, secondo te, dovevo parlare di proprietà associativa dell'addizione. Nota: in molti testi delle superiori si parla comunque ancora di propriètà dissociativa.
@melia ha scritto: sono perplessa anche nella scrittura $ a-b $ Qui intendo la differenza tra due numeri razionali (a, b, c, d sono numeri relativi)
Tradurre $a-b$
in $2-7$ per esempio, come dici tu e pensando che la formula segna una differenza, non ha senso perchè posso solo intendere $2-(-7)vv2-(+7)$ , diverso il caso di $ 2-7$ che può essere visto anche com $2+(-7)$ (concetto di somma algebrica)
Nel punto $2$ stavo cercando di giustificare l'opposto di una somma partendo dall'opposto di un numero:
l'opposto di $14$ è uguale a $-14$, quindi se $14=7+5+2$ l'opposto di $7+5+2$= $(-7)+(-5)+(-2)$
(Nell'esempio di prima del precedente post intendevo una somma) e la proprietà (dissociativa) associativa sembra giustificare questo: l'opposto di una somma deriva dalla proprietà (dissociativa) associativa.
Osservazione: non posso tradurre $(-7)+(-5)+(-2)$ come $-7-(+5)-(+2)$ e applicare poi la proprietà (dissociativa) associativa perchè ho modificato il segno dei tre addendi: il segno deve rimanere negativo.
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