Definizione metrica di limite
Salve a tutti!
Mi sono iscritta a questo forum perché io è alcuni miei compagni di classe abbiamo alcuni dubbi riguardo alla definizione metrica di limite, perché non riusciamo a capire la dipendenza di $\delta$ da $\epsilon$ .
Infatti ci è capitato in alcuni casi di riscontrare la presenza di più $\epsilon$ a seconda della funzione trattata.
Provo a spiegarmi con un esempio.
L'esercizio chiedeva di verificare che $\lim_{n \to \infty}f(x)$ = 0 con $f(x)={(1/(x+1),if x<0),(e^-1 -1 ,if x>=0):}$
Scelto un qualunque $\epsilon$ per identificare l'interno di 0, in alcuni casi trovavamo l'esistenza di due possibili $\delta$, uno corrispondente al ramo di iperbole "negativo", l'altro a quello positivo. In questo caso abbiamo considerato il $\delta$ minore, perché ci sembrava più attinente alla definizione per riuscire a risolvere il limite.
Però ci è venuto il dubbio sul perché bisogna tralasciare l'altro $\delta$.
Dopo aver guardato altri esercizi, abbiamo visto che in casi simili a questo è necessario considera un $\epsilon$ piccolo, di modo che creando un intorno di 0 di raggio piccolo, non si andassero a trovare "intersezioni" con il ramo di iperbole positivo.
A questo punto ci è sorto un dubbio: o $\delta$ non dipende da $\epsilon$ in quanto ci sono possibilità in cui esistono più $\delta$, oppure non è vero che vale il "preso qualunque $\epsilon$ " in quanto andremmo a scegliere solo i valori "piccoli".
In sostanza vorremmo capire bene perché $\delta$ dipende da $\epsilon$.
Mi spiace se non sono stata chiara, ma faccio un po' fatica a parlare con linguaggio matematico.
Comunque è qualcuno riuscisse a chiarirai il dubbio perché è una settimana che ci arrovelliamo sulla questione, grazie.
Mi sono iscritta a questo forum perché io è alcuni miei compagni di classe abbiamo alcuni dubbi riguardo alla definizione metrica di limite, perché non riusciamo a capire la dipendenza di $\delta$ da $\epsilon$ .
Infatti ci è capitato in alcuni casi di riscontrare la presenza di più $\epsilon$ a seconda della funzione trattata.
Provo a spiegarmi con un esempio.
L'esercizio chiedeva di verificare che $\lim_{n \to \infty}f(x)$ = 0 con $f(x)={(1/(x+1),if x<0),(e^-1 -1 ,if x>=0):}$
Scelto un qualunque $\epsilon$ per identificare l'interno di 0, in alcuni casi trovavamo l'esistenza di due possibili $\delta$, uno corrispondente al ramo di iperbole "negativo", l'altro a quello positivo. In questo caso abbiamo considerato il $\delta$ minore, perché ci sembrava più attinente alla definizione per riuscire a risolvere il limite.
Però ci è venuto il dubbio sul perché bisogna tralasciare l'altro $\delta$.
Dopo aver guardato altri esercizi, abbiamo visto che in casi simili a questo è necessario considera un $\epsilon$ piccolo, di modo che creando un intorno di 0 di raggio piccolo, non si andassero a trovare "intersezioni" con il ramo di iperbole positivo.
A questo punto ci è sorto un dubbio: o $\delta$ non dipende da $\epsilon$ in quanto ci sono possibilità in cui esistono più $\delta$, oppure non è vero che vale il "preso qualunque $\epsilon$ " in quanto andremmo a scegliere solo i valori "piccoli".
In sostanza vorremmo capire bene perché $\delta$ dipende da $\epsilon$.
Mi spiace se non sono stata chiara, ma faccio un po' fatica a parlare con linguaggio matematico.
Comunque è qualcuno riuscisse a chiarirai il dubbio perché è una settimana che ci arrovelliamo sulla questione, grazie.
Risposte
Ciao
Suppongo che ci siano un paio di errori nel testo, che modificherei così
$\lim_{x \to \infty}f(x)$ = 0 con $f(x)={(1/(x+1),if x<0),(e^(-x -1) ,if x>=0):}$
con la funzione corretta (quella di prima non verificava il limite) si ottiene $x<-1-1/epsilon vv x> -1-ln epsilon$, che sono due semirette, una decrescente e una crescente, che contengono un intorno di $oo$ ovvero contengono due semirette simmetriche rispetto O, basta prendere $Delta=max(1+1/epsilon, -1-ln epsilon)$ e l'intorno di $oo$ cercato è $|x| > Delta$.
L'idea è che se ad esempio una cosa maggiore di 5 è soluzione, anche una maggiore di 10 lo è.
Se avessi ottenuto come soluzione $x< -5 vv x>10$ e avessi avuto la necessità di una soluzione simmetrica rispetto O, bastava scartare le $x$ comprese tra $-10$ e $-5$ e scrivere che tutte le x tali che $|x|>10$ verificano la richiesta.
Suppongo che ci siano un paio di errori nel testo, che modificherei così
$\lim_{x \to \infty}f(x)$ = 0 con $f(x)={(1/(x+1),if x<0),(e^(-x -1) ,if x>=0):}$
con la funzione corretta (quella di prima non verificava il limite) si ottiene $x<-1-1/epsilon vv x> -1-ln epsilon$, che sono due semirette, una decrescente e una crescente, che contengono un intorno di $oo$ ovvero contengono due semirette simmetriche rispetto O, basta prendere $Delta=max(1+1/epsilon, -1-ln epsilon)$ e l'intorno di $oo$ cercato è $|x| > Delta$.
L'idea è che se ad esempio una cosa maggiore di 5 è soluzione, anche una maggiore di 10 lo è.
Se avessi ottenuto come soluzione $x< -5 vv x>10$ e avessi avuto la necessità di una soluzione simmetrica rispetto O, bastava scartare le $x$ comprese tra $-10$ e $-5$ e scrivere che tutte le x tali che $|x|>10$ verificano la richiesta.
Sì, effettivamente avevo sbagliato a scrivere!
Comunque grazie mille, penso di aver capito adesso! Andrò subito a riferire la soluzione ai miei compagni!
Comunque grazie mille, penso di aver capito adesso! Andrò subito a riferire la soluzione ai miei compagni!
Bene 
, comunque se ci sono ancora problemi torna a trovarci.
, comunque se ci sono ancora problemi torna a trovarci.
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