Dec.periodici
salve, è giusto dire che ogni decimale periodico è uguale al decimale successivo non periodico? es: $0,bar 7= 0,8$
Risposte
Direi di no: $0,\bar{7}=\frac{7}{9}$ e $0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ con $\frac{7}{9} != \frac{4}{5}$.
"WiZaRd":
Direi di no: $0,\bar{7}=\frac{7}{9}$ e $0,8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ con $\frac{7}{9} != \frac{4}{5}$.
Ma allora perchè $0,bar 9=1$?
Beh, per la regola dei numeri periodici, bisogna:
1-scrivere il numero, senza virgola e senza il periodo
2-sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo
3-scrivere, sotto la barra della divisione, un 9 per ogni cifra del periodo ed uno 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo
ad esempio, per il $0,bar(9)$,
1- 9
2- $9-0=9$
3- $9/9=1$
1-scrivere il numero, senza virgola e senza il periodo
2-sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo
3-scrivere, sotto la barra della divisione, un 9 per ogni cifra del periodo ed uno 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo
ad esempio, per il $0,bar(9)$,
1- 9
2- $9-0=9$
3- $9/9=1$
"clarkk":
Beh, per la regola dei numeri periodici, bisogna:
1-scrivere il numero, senza virgola e senza il periodo
2-sottrarre dal numero tutto ciò che precede il periodo
3-scrivere, sotto la barra della divisione, un 9 per ogni cifra del periodo ed uno 0 per ogni eventuale cifra dell'antiperiodo
ad esempio, per il $0,bar(9)$,
1- 9
2- $9-0=9$
3- $9/9=1$
si, va bhe, quello lo so. Non sto cercando di cambiare l'algebra
Sto solo cecando di capire perchè una somma di infiniti addendi come $9/10+9/100+9/1000...$ che sarebbe $sum_(-i=-1)^-oo9*10^-i$. Giusto???? 
sia uguale a uno ma $sum_(-i=-1)^-oo8*10^-i$ non sia uguale a $1,9$. Ma forse devo aspettare un paio d'anni per vedermi i limiti 
"pippo93":
una somma di infiniti addendi come $9/10+9/100+9/1000...$ che sarebbe $sum_(-i=-1)^-oo9*10^-i$. Giusto????
Visto che dall'altra parte chiedevi delucidazioni sulle sommatorie, ti dico che hai scritto bene
Potevi scrivere in realtà anche solo
$sum_(i=1)^(+oo)9*10^-i$
ovvero togliendo i meno sopra e sotto, rendendola un po' più leggera, ed il significato è lo stesso.
Ma forse devo aspettare un paio d'anni per vedermi i limiti
Dipende da che classe fai..
Il fatto è sato discusso anche qui:
http://www.matematicamente.it/forum/precedente-vt16287.html?&postdays=0&postorder=asc&highlight=numeri+periodici&start=20
http://www.matematicamente.it/forum/precedente-vt16287.html?&postdays=0&postorder=asc&highlight=numeri+periodici&start=20
"Steven":
Dipende da che classe fai..
Faccio la prima al liceo scientifico
in un sito (http://www.vialattea.net/esperti/mat/09p/) ho trovato questa uguaglianza: $0,bar9=sum_(i=1)^oo9*10^-i=lim_(n rarr oo)(10^n-1)/10^n=1$ Qualcuno me la potrebbe spiegare(la prima parte l'ho capita)?
Prova a vederla anche in questo modo:
due numeri sono diversi quando puoi trovare un numero che sta "nel mezzo" a loro due.
Ora , se consideri i due numeri:
$1 = 1,000000000000.....$
e
$0,999999999999999....$
come fai a trovarne uno?
Il discorso cambia se consideri i due numeri:
$0,777777777777....$
e $0,8$
"nel mezzo" a loro due puoi trovare ad esempio
$0,78$ oppure $0,778$ oppure $0,7778$, oppure $0,77778$...ecc..
Francesco Daddi
due numeri sono diversi quando puoi trovare un numero che sta "nel mezzo" a loro due.
Ora , se consideri i due numeri:
$1 = 1,000000000000.....$
e
$0,999999999999999....$
come fai a trovarne uno?
Il discorso cambia se consideri i due numeri:
$0,777777777777....$
e $0,8$
"nel mezzo" a loro due puoi trovare ad esempio
$0,78$ oppure $0,778$ oppure $0,7778$, oppure $0,77778$...ecc..
Francesco Daddi
Un'altra osservazione può essere questa:
guarda $frac{1}{3} = 0,3333333....$
moltiplica per 3:
$3 cdot frac{1}{3} = 3 cdot 0,3333333....$
$1 = 0,99999999....$
oppure
$frac{1}{9} = 0,111111....$
moltiplica per 9:
$9 cdot frac{1}{9} = 9 cdot 0,111111....$
$1 = 0,99999999....$
Francesco Daddi
guarda $frac{1}{3} = 0,3333333....$
moltiplica per 3:
$3 cdot frac{1}{3} = 3 cdot 0,3333333....$
$1 = 0,99999999....$
oppure
$frac{1}{9} = 0,111111....$
moltiplica per 9:
$9 cdot frac{1}{9} = 9 cdot 0,111111....$
$1 = 0,99999999....$
Francesco Daddi
"pippo93":
in un sito (http://www.vialattea.net/esperti/mat/09p/) ho trovato questa uguaglianza: $0,bar9=sum_(i=1)^oo9*10^-i=lim_(n rarr oo)(10^n-1)/10^n=1$ Qualcuno me la potrebbe spiegare(la prima parte l'ho capita)?
Guarda, io te la spiego, in ogni caso se magari non la capisci perchè non hai familiarità con la nozione di limite puoi chiedermi altre spiegazioni senza problemi.
Intanto dovresti aver letto che se in una sommatoria è presente una costante, possiamo portarla fuori, quindi siccome $9$ è costante, possiamo dire
$sum_(i=1)^oo9*10^-i=9sum_(i=1)^oo10^-i$
Perciò l'unico problema è di calcolare il valore della sommatoria (si dice "in forma chiusa", ovvero trovare un espressione equivalente alla somma dei primi $n$ termini, espressione appunto chiusa).
Ora io ti dico che si ha, in forma chiusa (ometto la dimostrazione, abbastanza semplice e alla tua portata, se vuoi che te la scrivo dimmelo)
$sum_(i=1)^oo10^-i=(10^n-1)/(9*10^n)$
Nel nostro caso perciò
$9sum_(i=1)^oo10^-i=9*(10^n-1)/(9*10^n)=(10^n-1)/(10^n)$
Ora devi capire che nel nostro caso $n$ è un numero grande, infinito, perchè se osservi la sommatoria iniziale
$sum_(i=1)^n9*10^-i=9*1/10+9*1/(10^2)+...+9*1/(10^n)$ capisci il perchè al posto di $n$ abbiamo messo $oo$, proprio perchè più è grande $n$ è più il calcolo risulta preciso.
Ora non resta che calcolare il calore di tale somma per $nto oo$ (in realtà calcolaiamo il valore del limite dell'espressione equivalente)
$lim_(n rarr oo)(10^n-1)/10^n=1$
Ti do una spiegazione su come ho calcolato il limite: riscriviamolo così
$lim_(n rarr oo)(10^n)/(10^n)-1/10^n=lim_(n rarr oo)1-1/10^n$ ma poichè $n$ tende a infinito, possiamo dire che il terrmine $1/10^n$ tende ad avvicinarsi a zero (il denominatore è molto grande)
Perciò
$lim_(n rarr oo)(10^n)/(10^n)-1/10^n=lim_(n rarr oo)1-1/10^n=lim_(n rarr oo)1-0=1$
Se non ti è chiaro, dimmelo
Ciao.
Forse, visto che è in prima superiore, è meglio giustificare la formula per la somma
delle potenze.
Conosci la formula
$1-x^2 = (1-x) cdot (1+x)$
?
E la formula
$1-x^3 = (1-x) cdot (1+x+x^2)$
?
Bene, si può generalizzare, con $n$ qualsiasi:
$1-x^{n+1} = (1-x) cdot (1+x+x^2+...+x^n)$
(la puoi verificare mettendoci $n=5$, ad esempio).
A questo punto dividi per $1-x$ e ottieni:
$frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+x+x^2+...+x^n$
Tieni presente che al posto della $x$ puoi sostituire qualsiasi numero.
A noi interessa l'ultima formula quando $x$ è minore di uno (in modulo);
quando $n$ cresce, il termine $x^{n+1}$ diventa sempre più piccolo, fino a
non "contare" più.
Resta allora la formula:
$frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+...$
in quest'ultima formula non ci si ferma più alla potenza $n$-esima, ma si va avanti
all'infinito.
Spero che il procedimento sia sufficientemente chiaro..
Francesco Daddi
delle potenze.
Conosci la formula
$1-x^2 = (1-x) cdot (1+x)$
?
E la formula
$1-x^3 = (1-x) cdot (1+x+x^2)$
?
Bene, si può generalizzare, con $n$ qualsiasi:
$1-x^{n+1} = (1-x) cdot (1+x+x^2+...+x^n)$
(la puoi verificare mettendoci $n=5$, ad esempio).
A questo punto dividi per $1-x$ e ottieni:
$frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+x+x^2+...+x^n$
Tieni presente che al posto della $x$ puoi sostituire qualsiasi numero.
A noi interessa l'ultima formula quando $x$ è minore di uno (in modulo);
quando $n$ cresce, il termine $x^{n+1}$ diventa sempre più piccolo, fino a
non "contare" più.
Resta allora la formula:
$frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+...$
in quest'ultima formula non ci si ferma più alla potenza $n$-esima, ma si va avanti
all'infinito.
Spero che il procedimento sia sufficientemente chiaro..
Francesco Daddi
"Steven":
[quote="pippo93"]in un sito (http://www.vialattea.net/esperti/mat/09p/) ho trovato questa uguaglianza: $0,bar9=sum_(i=1)^oo9*10^-i=lim_(n -> oo)(10^n-1)/10^n=1$ Qualcuno me la potrebbe spiegare(la prima parte l'ho capita)?
Guarda, io te la spiego, in ogni caso se magari non la capisci perchè non hai familiarità con la nozione di limite puoi chiedermi altre spiegazioni senza problemi.
[...]
Se non ti è chiaro, dimmelo
Ciao.[/quote]
Prima volevo chiederti una cosa: il limite è il valore di un'espressione con un valore portato all'infinito (es: $lim_(n rarr oo)(10^n-1)/(10^n)$ significa il valore di $(10^n-1)/(10^n)$ portando $n$ all'infinito?)?
Poi ti volevo chiedere la dimostrazione di $sum_(i=1)^oo10^-i=(10^n-1)/(9*10^n)$ se ti va
e poi un'altra cosa: tu hai fatto $lim_(n rarr oo) 10^n/10^n-1/10^n=1-0=1$ ok l'ho capito. Ma va bene se scrivo $lim_(n rarr oo) (10^n-1)/10^n=(-1)/1=1$(dividendo num. e den. per $10^n$?
"pippo93":
Prima volevo chiederti una cosa: il limite è il valore di un'espressione con un valore portato all'infinito (es: $lim_(n rarr oo)(10^n-1)/(10^n)$ significa il valore di $(10^n-1)/(10^n)$ portando $n$ all'infinito?)?
Non è proprio la definizione di limite, ma per adesso si, accontentati di questa visione intuitiva
"pippo93":
e poi un'altra cosa: tu hai fatto $lim_(n rarr oo) 10^n/10^n-1/10^n=1-0=1$ ok l'ho capito. Ma va bene se scrivo $lim_(n rarr oo) (10^n-1)/10^n=(-1)/1=1$(dividendo num. e den. per $10^n$?
Non ho capito come ti è uscita quell'espressione dividendo per $10^n$, verrebbe semmai
$(10^n-1)/10^n=(10^n/10^n-1/10^n)/(10^n/10^n)=(1-1/10^n)/1=1-1/10^n$
che è come veniva a me.
Inoltre questo limite è errato
$lim_(n rarr oo) (10^n-1)/10^n=(-1)/1=1$,
1)perchè $(-1)/1=-1$ e non $1$
2)si dice che quella è una forma indeterminata perchè è un rapporto tra due valori che valgono infinito. Un modo per risolverla è, come dicevo prima, scriverla come
$1-1/10^n$ e possiamo dedurre facilmente che il limite viene uno perchè il secondo termine $1/10^n$ tende a scomparire
($n$ cresce, $10^n$ quindi cresce, e la frazione diminuisce sempre più).
"pippo93":
Poi ti volevo chiedere la dimostrazione di $sum_(i=1)^oo10^-i=(10^n-1)/(9*10^n)$ se ti va
Va bene, ma hai commesso un errore nella scrittura della sommatoria: al posto di $oo$ devi mettere $n$, questa è una semplice somma e non un limite.
Diciamo che
$S_n=1/10+1/10^2+...+1/10^n$ (1)
ovvero chiamiamo $S_n$ la somma dei termini $1/10^k$ con $k$ che va da $1$ a $n$ (ho evitato di scrivere il simbolo ingombrante della sommatoria).
Ora prendiamo l'equazione (1) e moltiplichiamo ambo i membri per $10$, ottenendo
$10*S_n=10*1/10+10*1/10^2+...+10*1/10^n$ (ho moltiplicato i vari addendi del secondo membro per dieci) ma il secondo membro diventa
$10*S_n=1+1/10+...+1/10^(n-1)$ (2)(ho semplificato il $10$ a ogni addendo, spero sia chiaro)
Ora ricopiamo la (2) e la (1)
$10*S_n=1+1/10+...+1/10^(n-1)$ (2)
$S_n=1/10+1/10^2+...+1/10^n$ (1)
Ora sottraiamo membro a membro, ovvero eseguiamo la differenza tra i primi membri e i secondi. Osserva bene che otteniamo una nuova equazione con il secondo membro molto sfoltito, infatti con la differenza se ne sono andati tutti i termini uguali (quelli che starebbero al posto dei puntini) e rimangono solo gli estremi $1$ e $1/10^n$
$9S_n=1-1/10^n$
ovvero, facendo il comun denominatore
$9S_n=(10^n-1)/10^n$
ora se dividi per $9$ hai finito.
La dimostrazione è abbastanza elementare e dovresti capirla.
Giusto per darti una nozione teorica: i termini
$1, 1/10, 1/10^2, 1/10^(3) ... 1/10^n$
si dice che formano una progressione geometrica, poichè ogni termine è uguale al precedente moltiplicato per un coefficente fisso, in questo caso $1/10$.
Ciao
Prima volevo chiederti una cosa: il limite è il valore di un'espressione con un valore portato all'infinito
Dimenticavo: il limite può essere calcolato anche se la variabile non va a infinito, ad esempio il limite della funzione
$x+2$ con $xto3$ è $5$, ovvero la funzione si avvicina al valore $5$ se la variabile $x$ si avvicina al valore $3$.
Ok, tutto chiaro grazie.
ma se vale tutto quello che abbiamo detto... allora $0,bar a=sum_(i=1)^oo a*10^-i$ e quindi $sum_(i=1)^n a*10^-i=lim_(n rarr oo) a*(10^n-1)/(9*10^n)=lim_(n -> oo) a*(1-1/10^n)/9= a*1/9$ ?
e considerando un caso con antiperiodo? $0,a bar b=a/10+sum_(i=2)^oob*10^-i$ e quindi $a/10+sum_(i=2)^n b*10^-i= lim_(n rarr oo) b*(1/10-1/10^n)/9 + a/10= b[(1/10)-0]/9+a/10=b/90+9a/90=(9a+b)/90$ giusto?
questo giustificherebbe la nota regola secondo la quale un n periodico trasformato in frazione ha al numeratore il numero senza virgola meno tutto ciò che precede il periodo e al denominatore tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante le cifre dell'antiperiodo (infatti secondo la regola $0,a bar b=(10a+b-a)/90=(9a+b)/90$ come credo di aver dimostrato poco fa)
e considerando un caso con antiperiodo? $0,a bar b=a/10+sum_(i=2)^oob*10^-i$ e quindi $a/10+sum_(i=2)^n b*10^-i= lim_(n rarr oo) b*(1/10-1/10^n)/9 + a/10= b[(1/10)-0]/9+a/10=b/90+9a/90=(9a+b)/90$ giusto?
questo giustificherebbe la nota regola secondo la quale un n periodico trasformato in frazione ha al numeratore il numero senza virgola meno tutto ciò che precede il periodo e al denominatore tanti 9 quante le cifre del periodo e tanti 0 quante le cifre dell'antiperiodo (infatti secondo la regola $0,a bar b=(10a+b-a)/90=(9a+b)/90$ come credo di aver dimostrato poco fa)
Si, quanto hai scritto è tutto esatto.
E' una valida dimostrazione.
E' una valida dimostrazione.
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