Data l'ipotenusa trovare i cateti
Data una ipotenusa, numero Reale, è sempre possibile trovare una coppia di cateti qualsiasi che la determinano, appartenenti ai numeri Naturali?
E se l'ipotenusa fosse un numero razionale?
Grazie per l'aiuto.
E se l'ipotenusa fosse un numero razionale?
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Per quello che ho capito la tua domanda è la seguente:
chiamando $w$ l'ipotenusa ($w$ lo considero reale "positivo" essendo una lunghezza), ti chiedi se - e in quali casi - esistono due cateti $x$ e $y$ tali che
$x^2 + y^2 = w^2$ o, ugualmente, $\sqrt(x^2 + y^2)=w$.
La risposta è sì, anzi, ce ne sono infiniti e determinano la curva data proprio dall'equazione appena scritta...
Buon 2013
PS, dimenticavo. Nel caso di $w$ razionale le cose sono abbastanza complicate perché - tranne che in casi particolari - la radice di un numero è irrazionale.
chiamando $w$ l'ipotenusa ($w$ lo considero reale "positivo" essendo una lunghezza), ti chiedi se - e in quali casi - esistono due cateti $x$ e $y$ tali che
$x^2 + y^2 = w^2$ o, ugualmente, $\sqrt(x^2 + y^2)=w$.
La risposta è sì, anzi, ce ne sono infiniti e determinano la curva data proprio dall'equazione appena scritta...
Buon 2013
PS, dimenticavo. Nel caso di $w$ razionale le cose sono abbastanza complicate perché - tranne che in casi particolari - la radice di un numero è irrazionale.
Per i numeri naturali non sempre è possibile, a meno di accettare la soluzione in cui un cateto è zero e l'altro è uguale all'ipotenusa.
Esistono però infinite terne di numeri naturali (i due cateti e l'ipotenusa) per cui questo avviene, e sono dette terne pitagoriche; moltiplicando o dividendo tutti i tre numeri per uno stesso naturale si ottiene un'altra terna pitagorica.
Aiutandosi con questo, se l'ipotenusa è reale o razionale si può sempre trovare una coppia di cateti razionali; ti mostro come supponendo che l'ipotenusa sia $2$ e rifacendomi alla terna pitagorica più famosa, cioè (3, 4, 5). Indicando con $x,y$ i cateti deve essere
$x^2+y^2=4$
A secondo membro voglio avere 25, quidi moltiplico per $25/4$:
$((5x)/2)^2+((5y)/2)^2=25$
e quindi
${((5x)/2=3),((5y)/2=4):}$ $->{(x=6/5),(y=8/5):}$
Naturalmente avrei potuto rifarmi ad un'altra terna pitagorica, ad esempio (5, 12, 13).
@Zero87: ti è sfuggito che i cateti dovevano essere naturali o razionali.
Esistono però infinite terne di numeri naturali (i due cateti e l'ipotenusa) per cui questo avviene, e sono dette terne pitagoriche; moltiplicando o dividendo tutti i tre numeri per uno stesso naturale si ottiene un'altra terna pitagorica.
Aiutandosi con questo, se l'ipotenusa è reale o razionale si può sempre trovare una coppia di cateti razionali; ti mostro come supponendo che l'ipotenusa sia $2$ e rifacendomi alla terna pitagorica più famosa, cioè (3, 4, 5). Indicando con $x,y$ i cateti deve essere
$x^2+y^2=4$
A secondo membro voglio avere 25, quidi moltiplico per $25/4$:
$((5x)/2)^2+((5y)/2)^2=25$
e quindi
${((5x)/2=3),((5y)/2=4):}$ $->{(x=6/5),(y=8/5):}$
Naturalmente avrei potuto rifarmi ad un'altra terna pitagorica, ad esempio (5, 12, 13).
@Zero87: ti è sfuggito che i cateti dovevano essere naturali o razionali.
"giammaria":
@Zero87: ti è sfuggito che i cateti dovevano essere naturali o razionali.
My bad, avevo pensato ai cateti reali...
Comunque per le terne pitagoriche, c'era un algoritmo di generazione delle stesse se non ricordo male (a partire dai quadrati o altro)...
L'algoritmo era
${(x=u^2-v^2),(y=2uv),(z=u^2+v^2):}$
in cui $u,v$ sono numeri naturali con $u>v$. Se vuoi terne primitive (ad esempio se escludi 6, 8, 10) devono essere primi fra loro ed uno pari e l'altro dispari.
${(x=u^2-v^2),(y=2uv),(z=u^2+v^2):}$
in cui $u,v$ sono numeri naturali con $u>v$. Se vuoi terne primitive (ad esempio se escludi 6, 8, 10) devono essere primi fra loro ed uno pari e l'altro dispari.
Ok,
non era esattamente ciò che cercavo; in ogni caso grazie tantissime per lo spunto.
Saluti,
Pier Paolo
non era esattamente ciò che cercavo; in ogni caso grazie tantissime per lo spunto.
Saluti,
Pier Paolo
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