Dalle caratteristiche di una funzione alla sua equazione?

[StellaMartensitica]

Salve, ho il seguente dubbio che spero qualcuno potrà fugare.
Esiste un procedimento per trovare l'equazione di una funzione, note le sue caratteristiche (e quindi il suo grafico probabile)?
Riporto un esempio:
Il dominio è $ x != -1 $
Il segno è: $ f(x)>0 $ $ per $ $ x< -1 $ $ vv x>0 $, $ f(x)<0 $ per $ -1 Esistono un asintoto orizzontale tale che $ lim_(x -> +-∞)f(x)=1^(∓) $ ed un asintoto verticale tale che $ lim_(x -> -1^(±))f(x)=∓∞ $
Non ci sono massimi e minimi.
Il punto $ O(0;0) $ è un flesso orizzontale ascendente ed $ F(1;1/2) $ è un flesso obliquo discendente.

[mgrau]

"SirDanielFortesque":
Esiste un procedimento per trovare l'equazione di una funzione, note le sue caratteristiche ?

Intendi chiaramente una delle infinite funzioni con quelle caratteristiche?

[StellaMartensitica]

Si. Quella con l'equazione che meglio approssima l'andamento così descritto. In altre parole si può andare solo per tentativi?

[mgrau]

Non sono un esperto, e quindi prendila per quel che vale; non credo che ci siamo metodi applicabili meccanicamente, ci sono di sicuro delle linee guida: probabilmente si può sempre cercare una funzione razionale, se ci sono asintoti verticali sarà una funzione fratta, con tanti zeri al denominatore quanti sono gli asintoti, poi ci saranno di sicuro regole sul grado legate a quanti massimi e minimi, quanti flessi ecc....
Quella che hai messo come esempio assomigli a $y = x/(x+1)$, un'iperbole equilatera, purtroppo questa non ha i flessi richiesti, forse aggiungendo una specie di gaussiana $e^-(x^2)$ ci si avvicina un po'...
meglio aspettare l'intervento di qualcuno più competente.

[StellaMartensitica]

Si. Tenete conto che sono ora al capitolo dello studio di funzione in quarta superiore, quindi le mie conoscenze sono ridotte.
Se qualcun altro ha qualcosa da suggerire è benvenuto. Grazie intanto.

[@melia]

Cercando di essere il più semplice possibile, potrebbe essere una razionale fratta il cui denominatore si annulla in $-1$, ma come ti ha già fatto notare mgrau, non basta avere un denominatore di primo grado, se lo si prende di secondo grado non rispetta lo studio dei segni, quindi deve essere almeno di terzo grado cioè $(x+1)^3$, ma potrebbe essere anche di quinto grado o comunque di grado dispari.

Il limite a $oo$ deve dare $1$, quindi il grado del numeratore e quello del denominatore devono essere uguali.

$(0,0)$ è un punto di flesso a tangente orizzontale, quindi l'intersezione tra la funzione e l'asse delle ascisse è almeno di terzo grado.

La funzione $f(x)=x^3/(x+1)^3$ soddisfa quasi tutti i requisiti, ha anche un flesso obliquo per $x=1/2$, solo che l'ordinata del flesso obliquo è $1/8$ e non $1/2$ come richiesto.

Forse bisogna portarsi al quinto grado, ma sono più propensa ad un errore nei dati delle ipotesi.

[StellaMartensitica]

In realtà in questo esercizio era chiesto soltanto di tracciare il grafico, non di trovare l'equazione, ma mi chiedevo se fosse possibile, date le caratteristiche di un grafico di una funzione, risalire all'equazione mediante un metodo ripetibile per qualsiasi grafico, ma evidentemente non è così.
Grazie.

[teorema55]

Un metodo generale è difficile, se non impossibile, da applicare al grafico di qualsiasi funzione. Conoscendo il tipo di funzione, per esempio una conica, basta poter impostare un sistema di tante equazioni quanti sono i coefficienti incogniti e/o eventuali parametri, ma qui...........

..........qui, ricordando che una funzione può essere definita in modo diverso in diversi intervalli della x, direi che

$f_(x)= x/(x+1)$

per $x<=0$

e per

$x>1$

rispetta esattamente le condizioni poste dal problema, tranne i due flessi.

Si può tentare di stabilire come sia definita nell'intervallo

$0
e poi, eventualmente, tentare di unificarla con la precedente.

Ci penso ancora un po'...............

[teorema55]

Per esempio, le condizioni imposte dalla concavità rivolta verso l'altro e dalla presenza dei due flessi possono essere rispettate da una funzione così definita:

$f(x)=x/(x+1)$ per $x<=0$ V $x>1$

$f(x)=1/2x^2$ per $0
Il procedimento per determinare la prima funzione è il ragionamento (a mio parere corretto) di @mgrau.

Per il tratto compreso tra $0
ho pensato a una parabola del tipo

$y=ax^2+bx+c$

Le tre condizioni per determinare i tre coefficienti sono:

passaggio per $O(0,0)$ (chiedo venia per la semplificazione, in realtà f(x) tende al limite sinistro del C.E., che è proprio il punto O) $c→0$

vertice in $O(0,0)$ → $b→0$ (stessa semplificazione)

passaggio per $F(1, 1/2)$ → $a=1/2$

di conseguenza il ramo di funzione con

$0
può essere

$y=1/2 x^2$

Verifichiamo le condizioni:

$y'(x) =x>0$ (nell'intervallo) → funzione sempre crescente

$y''(x)=1>0$ concavità rivolta verso l'alto

Il flesso orizzontale:

$y=0$ per $x→O^+(0,0)$ (l'asse x, evidentemente)

Gli asintoti verticale e orizzontale sono in figura. Quello obliquo, per

$x→1^-$

è

$y=1/2 x$

perché

$lim_(x→1^-) f(x)/x=1/2=m $

e

$lim_(x→1^-) f(x)-mx=0=k $

Eccone il grafico: