Da numero decimale periodico alla corrispondente frazione - dimostrazione

[lh43294y3b]

Ciao a tutti!

Il mio libro riporta questo:

Dato un numero decimale illimitato periodico, la frazione corrispondente ha per numeratore la differenza tra il numero costituito dalla parte intera seguita dall'antiperiodo e dal periodo preso una sola volta e il numero composto dalla parte intera e dall'eventuale antiperiodo e, per denominatore, un numero composto da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguito da tante cifre 0 quante sono quelle dell'eventuale antiperiodo.

Esempi:
(n) indica che n è il periodo.

[*:3e4043da]$0,(13)=\frac{13-0}{99}=13/99$[/*:3e4043da]
[*:3e4043da]$2,18(4)=\frac{2184-218}{900}=\frac{1966}{900}=\frac{983}{450}$[/*:3e4043da]
[/list:u:3e4043da]

Come si può dimostrare questo procedimento? Cioè, perchè si fa così?

[axpgn]

$x=0,bar(13)$

Periodo di due cifre -> moltiplico ambo i membri per $100$

$100x=13,bar(13)$

Sottraggo membro a membro

$100x-x=13,bar(13)-0,bar(13)\ ->\ 99x=13\ ->\ x=13/99$

Prova tu con l'altro numero ...

[mgrau]

Te lo spiego in in caso semplice, gli altri sono semplici variazioni.
Prendi il numero, per es., $N = 0.333333...$ Lo moltiplichi per 10, ottieni $10N = 3.3333333....$
Sottrai $10N - N = 3 => 9N = 3 => N = 3/9 = 1/3$
Il trucco consiste sempre di trovare un multiplo di N 10, 100, 1000 volte maggiore, e da questo sottrarre il numero originale, in modo da eliminare la parte periodica.

[lh43294y3b]

Grazie a entrambi! Ho capito.

Per l'altro:

$x=2,18\bar(4)$

$1000x=2184,\bar(44)$

$1000x-100x=2184,\bar(4)-218,\bar(4)=2184+0,\bar(4)-0,\bar(4)-218=2184-218=>x=\frac{2184-218}{900}$