Curva parametrica - dubbio

[giogiomogio]

ciao a tutti,
sto svolgendo un esercizio inerente alle curve parametriche.
il seguente esercizio mi chiede 4 cose:
Data la seguente curva in forma parametrica:
$C:{ ( x=2+4sint ),( y=9-4cos^2t ):} : -[pi]/2 <= t <= [pi]/2$
a) Determinare le intersezioni della curva con gli assi cartesiani.
b) Determinare una forma implicita della curva
c) Determinare la forma esplicita della curva, il dominio e codomonio.
e) Schizzare la curva $C$

a) - risolta.
b) ho un problema:
ho sfruttato la regola $sin^2alpha +cos^2alpha = 1$

quindi:
$C:{ ( sint=[x-2]/4 ),( cost=sqrt([-y+9]/4) ):} $

perciò:
$([x-2]/4)^2 + (sqrt([-y+9]/4))^2=1$

che posso anche scrivere come:
$([x-2]/4)^2 + ([(-y+9)^([1]/[2])]/[4^([1]/[2])])^2=1$

sciogliendo le parentesi dovrebbe uscire:
$[x^2-4x+4]/[16] + [-y+9]/[4] = 1$

ossia:
$x^2-4x+4-4y+36=16$

e infine:
$x^2-4x-4y+24=0$

con geogebra ho disegnato sia la curva e sia l equazione implicita $x^2-4x-4y+24=0$
uguali sembrano uguali nel senso che si sovrappongono, solo che l'implicita non ha intervalli mentre per il caso della parametrica la linea si vede solo a $[-[pi]/2 ; [pi]/2]$
e non capisco come mai ... in teoria anche l'implicita dovrebbe fermarsi o meglio; "vivere" solo all interno di quell intervallo. ma invece no, continua.
e questo è ovvio... in quanto $cos$ e $sin$ sono ripetitivi ... quindi dovrebbe sovrasscriversi ogni volta sullo stesso intervallo... e non continuare.... ma perche mai?

dove sbaglio?
grazie

[giogiomogio]

Grazie
quindi quello che dovevo fare era semplicemente calcolare gli estremi di $x$ dell'intervallo $[-[pi]/2 ; [pi]/2]$ ?

[giogiomogio]

ottimo
per il codominio, secondo te è una buona idea (a questo punto) calcolare l'immagine di $x=-2$ o di $x=6$ e poi calcolare semplicemente l'immagine del vertice della funzione esplicita. quindi il codominio sarà da $9$ al vertice della parabola.

l'altra strada era quella di calcolare il dominio della funzione inversa...
che mi avrebbe dato esattamente come intervallo l'immagine del vertice fino a $+oo$ poi siccome pero le $x$ sono limitate mi bastava calcolare l'immagine di una delle 2 ($-2$ o $6$) e infine scrivere l'intervallo da $9$ all immagine del vertice della parabola.
ma secondo me in questo caso è solo uno spreco di tempo...
lei cosa ne pensa?
grazie

[andreabianchi1]

Potreste ripetere tutti i passaggi che mi sono perso , da dove ricavo 1._ x(−π2)=−2 e x(π2)=6;

e spiegare meglio come ricavare le forme esplicite e implicite delle equazione

quando faccio arccos(3/2 ) sulla mia calcolatrice mi da errore inve quando lo facco con wolfram no, perche?

e come faccio a schizzare la curva c( sostituisco t con deu numeri?)

[andreabianchi1]

Scusi ma sono nuovo e non so neanche postare delle immagini e a furia di sbatterci la testa stavo impazzendo...prima di riuscire a postare immagini avevo altra domanda ed era come ha trovato i punti di intersenzione senza colacolatrice ,io ho provato sostituendo ad y ed a x 0 poi trovo arcsin di -1/2 nella prima e trovo -30 ma per il coseno come faccio? Senza l ausiglio della calcolatrice?
ho una calcolatrice EL-W506 e se faccio arccos mi da errore.La ringrazio Tantissimo

[giogiomogio]

@blobst1
hai 2 possibilita per i punti d'intersezione...
1. usi l'equazione implicita e sostituisci e imponi $x=0$ per trovare i punti d'intersezione sull'asse $y$ ti ritroverai con un equazione di secondo grado ad 1 incognita.

2. con la forma parametrica... trovi i o il valori di $t$ che ti da $x=0$ i o il valore ottenuto lo dovrai sostituire nell'altra equazione del sistema... in questo modo avrai sicuramente $x=0$ e $y=...$
Occhio all intervallo di $t$

un consiglio?
usa il primo metodo
stessa cosa per l'intersezione sull'asse delle $x$

ps. scrivi, la prossima volta, in modo leggibile matematico. cioe usando i dollari, esempio:
x=10 scritta cosi non va bene... ma se usi dollaro x=10 dollaro esce $x=10$
ciau