Curva formalmente invariante.

[billytalentitalianfan]

Nelle trasformazioni geometriche si sente spesso parlare di equazione della curva, in seguito ad una determinata trasformazione, "formalmente invariante" ; in tutta sincerità, non riesco a distinguerne una invariante da un'altra!
Nello specifico, volendo calcolare l'equazione della curva simmetrica rispetto al centro C, si effettua la sostituzione:

F(x , y) = 0 ---------> F(2xc - x , 2yc - y) = 0

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Che si intende?

Come si stabilisce inoltre quale sia il centro di simmetria di una generica curva?

[Alexp1]

CENTRO DI SIMMETRIA
Se $S$ è centro di simmetria, una qualsiasi retta per $S$ interseca la curva in due punti $P_1$ e $P_2$ simmetrici rispetto ad $S$. Sia $P_1(x_1,y_1)$, $P_"(x_2,y_2)$, $S(\alpha,\beta)$.
$S$ è medio fra $P_1$ e $P_2$ quindi $\alpha=(x_1+x_2)/2$ e $\beta=(y1+y2)/2=(f(x_1)+f(x_2))/2$.
Da quest'ultima si ha $2\beta=f(x_1)+f(x_2)=f(x_1)+f(2\alpha-x_1).
Questa relazione deve valere per qualunque $x$ appartenente al dominio di $f(x)$

$f(x)+f(2\alpha-x)=2\beta$


ESEMPIO
Trovare il centro di simmetria della curva $y=-x^3+6x^2-15$
La relazione $f(x)+f(2\alpha-x)=2\beta$ deve essere vera per ogni $x$, quindi si scelgono a caso due valori di $x$...ipotiziamo
$x=0$ e $x=1$.

Ora
per $x=0$ si ha $f(0)+f(2\alpha-x)=2\beta$
per $x=1$ si ha $f(1)+f(2\alpha-x)=2\beta$

Dunque
$-15-(2\alpha)^3+6(2\alpha)^2-15=2\beta$
$-1+6-15-(2\alpha-1)^3+6(2\alpha-1)^2-15=2\beta$

risolvendo si ottiene $S_1(2;1)$ e $S_2(1/2;-25/2)$
quindi provo a sostituire i due punti nell'equazione....iniziamo col punto $S_2$
$-x^3+6x^2-15-(1-x)^3+6(1-x)^2-15=-25$ semplificando si ottiene $9x^2-9=0$ la quale non è sempre vera.

Adesso proviamo col punto $S_1$
$-x^3+6x^2-15-(4-x)^3+6(4-x)^2-15=-2$ semplificando si ottiene $2-2=0$ la quale è sempre vera.

In conclusione il centro di simmetria è $S_1(2;1)$

Spero di essere stato chiaro!
Ciao

[billytalentitalianfan]

Quindi si scelgono a caso due valori di $x$

Di conseguenza non esiste un modo preciso ed univoco per calcolare il centro di simmetria di una funzione, non è così?

[Alexp1]

No, certo che esiste, è quello che ti ho appena descritto....il fatto che si scelgono a caso due valori di $x$ è solo per definire le equazioni del sistema, tanto qualsiasi valore di $x$ scegliessi, il risultato sarebbe sempre lo stesso.....infatti se ci pensi se un punto è centro di simmetria, significa che lo dev'essere per qualsiasi punto della funzione, poi quali equazioni inserisci nel sistema non interessa, l'importante è che il sistema venga definito correttamente come ti ho fatto vedere.