Curiosità disequazioni con valore assoluto

[DavidGnomo1]

Buonasera, leggendo qui e lì ho trovato un argomento spiegato in modo "diverso".
Mi spiego. Abbiamo la seguente disequazione con valore assoluto $\abs{x+4} < 1$

In un libro in italiano viene spiegato che per risolvere questo tipo di disequazione bisogna metter su addirittura 2 sistemi.
In un altro libro, in inglese, viene spiegato di utilizzare le "compound inequality" . Praticamente si risolve in modo più sintetico rispetto al modello italiano e senza simbolo di sistema.

Chiedo a voi, qual è quello "corretto" (passatemi il termine)?
Se in una scuola italiana si usa una versione "inglesizzata" di risoluzione della disequazione viene segnato come errore? E viceversa?

Grazie

[StellaMartensitica]

Non sono avvezzo a questa terminologia pagana.
questo è il caso

$|A(x)|
con $k$ una costante reale maggiore di zero, e quindi diventa immediatamente:
$ \abs{x+4} < 1 $

$-1
$-1-4
$-5
Cioè una bolla di raggio $1$ e centro $-4$.


Altrimenti devi fare i due sistemi, distinguendo i due casi, se preferisci:

$\{(x+4>=0),(x+4<1):} uu \{(x+4<0),(-x-4<1):}$

Se poi arriva qualcuno che sa che vuol dire compound inequality magari te lo dice. Io non so.

[DavidGnomo1]

Praticamente, se non erro, nell'altro caso (quello "estero") si dovrebbe fare così:

Poichè
$\abs{ax + b} < c$ significa $ax + b < c \wedge ax + b > -c$

allora si studiano le due seguenti disequazioni mettendo in "AND" le due soluzioni trovate.

Prima disequazione
$x + 4 < 1$
$x < -3$

Seconda disequazione
$x + 4 > -1$
$x > -5$

Quindi la soluzione è: $-5 < x < -3$
Per cui sembra che tutti quei "sistemoni" non siano necessari . E' solo per capire quale sia il procedimento migliore.

[StellaMartensitica]

Quello migliore è quello che per te è più veloce. Ci sono alcune scorciatoie. Per esempio

data $A(x)$ un'espressione e $k$ costante $"positiva"$

$|A(x)|>k$
diventa immediatamente uguale a:

$A(x)<-k vv A(x)>k$

mentre

$|A(x)|
diventa

$-k
Altrimenti fai il sistema se non ti ricordi.

Anche gli inglesi queste cose le fanno come noi da quello che hai scritto non cambia molto direi no?

[axpgn]

Quali "sistemoni"? Naaaah … … per me è molto più facile risolvere tanti sistemi "facili" che pochi "difficili" …

Se io dovessi spiegare a qualcuno come risolvere disequazioni con il valore assoluto, in prima battuta userei un metodo che io chiamerei "normale" o "scolastico" cioè quello di "sciogliere" il valore assoluto nei due casi e quindi risolvere i due sistemi che ne nascono; solo successivamente, passerei ad altri metodi.
Faccio notare che questo metodo funziona sempre mentre quello mostrato da @Sir è un caso specifico che andrebbe adattato di volta in volta quando le "cose" si fanno più complicate.
Inoltre quella scrittura "nasconde" il fatto che le disequazioni da risolvere siano due invece di una come sembrerebbe in un primo momento e questo spesso crea poi confusione tra i neofiti.

IMHO.

Cordialmente, Alex

[DavidGnomo1]

Ah ecco, quindi non è obbligatorio fare il sistema.
Immagino però , che se l'abbiamo messo su significa che a qualcosa servirà..
Trovo più intuitivo utilizzare la definizione di valore assoluto per poi applicarla alle equazioni e le disequazioni.

Quindi, se scrivessi la soluzione come l'ho posta sopra in una scuola italiana non la barrerebbero come errata?

Grazie in ogni caso SirDaniel

[DavidGnomo1]

@axgpn

E' quello che ho scritto io su come lo ritieni?

Grazie.

[axpgn]

Cioè? Precisamente cosa?

[DavidGnomo1]

Questo

"DavidGnomo":Praticamente, se non erro, nell'altro caso (quello "estero") si dovrebbe fare così:

Poichè
$\abs{ax + b} < c$ significa $ax + b < c \wedge ax + b > -c$

allora si studiano le due seguenti disequazioni mettendo in "AND" le due soluzioni trovate.

Prima disequazione
$x + 4 < 1$
$x < -3$

Seconda disequazione
$x + 4 > -1$
$x > -5$

Quindi la soluzione è: $-5 < x < -3$
Per cui sembra che tutti quei "sistemoni" non siano necessari . E' solo per capire quale sia il procedimento migliore.

[StellaMartensitica]

Come ha detto axpgn all'inizio è meglio che ti fai il sistema.

Tanto né noi italiani né gli inglesi possiamo reinventarci l'acqua calda.

Il metodo è quello del sistema va bene dappertutto quando ci sono disuguaglianze con i valori assoluti.

I casi noiosi sono quelli delle diseguaglianze con le somme dei valori assoluti. Ad esempio:

$|x+3|-|x-3|+|x+4|>0$
Lì ti tocca studiare il segno di tutto, ecc. ecc. Ma altrimenti non sono esercizi troppo articolati in genere. Specialmente quando le espressioni ad argomento sono di secondo grado.

[axpgn]

@David
Prima di tutto quelli NON sono "sistemoni" ma disequazioni semplicissime che si risolvono "in secondi", inoltre siccome, in pratica, quelle del secondo sistema (o terzo e quarto, ecc.) non sono altro che "variazioni semplici" del primo, di fatto, il "grosso" del lavoro lo fai con in il primo sistema. E più le espressioni sono complicate (di grado e con due o più valori assoluti) il vantaggio aumenta …
Poi, come detto da @Sir (e da tanti altri), non esiste un sistema "migliore", semplicemente con l'esercizio e la pratica uno poi trova la sua "strada" preferita …

Aggiungo solo che l'importante è capire il concetto di "valore assoluto", il resto a quel punto vien da sé …

Cordialmente, Alex

[DavidGnomo1]

Ok ringrazio entrambi ora posso dormire tranquillo ahahah . ci ritorneremo quando le studierò.

PS: Si, sistemoni era tra virgolette per sottintendere che non erano complicati quanto "inutili" rispetto all'altro modo.

[StellaMartensitica]

I sistemi sono importanti comunque. Se non capisci quelli rischi di non capire come risolvere tutti i tipi di esercizi. Ciao!

[@melia]

Il metodo "anglosassone" funziona solo in casi semplici, quando l'argomento del modulo è di primo grado, ma se la disequazione fosse
$|x^2-4x|<3$ ok, si può procedere alla anglosassone $-3

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[StellaMartensitica]

Si torna sempre al sistema

[DavidGnomo1]

@@melia
Ci vorrebbe un esperto di quel tipo di soluzione

Che poi...visto che le cose sono un po' differenti, come mai da un certo livello in poi ci si basa su libri "stranieri" (americani, inglesi, russi... tipo Rudin, Apostol, Artin etc..)?

[StellaMartensitica]

Abbiamo avuto e continuiamo ad avere anche in Italia buoni libri e buoni Maestri. In questo caso rubo un'espressione ad axpgn
e scrivo:
IMHO.