Cubo di binomio

[Filippo121]

Non si può risolvere il seguente cubo con la procedura del cubo di binomio ?

$ (1+ x^-2 )^ 3 $


Grazie

[otta96]

Chi lo ha detto?

[Filippo121]

non mi tornano i calcoli ...credevo che non si potesse, riproverò...

[Bokonon]

Se ti crea problemi la frazione risolvi $(1+a^2)^3$ dove $a=1/x$

[Filippo121]

grazie ,adesso mi tornano i conti ( PS: mi ero fermato perchè il libro dice cubo di un binomio, cioè cubo di un polinomio, ma un binomio non può avere grado negativo, -2 nel mio esempio ) . grazie

[Zero87]

"Filippo12":ma un binomio non può avere grado negativo, -2 nel mio esempio

Binomio=2 monomi.
Ogni monomio può avere un grado qualsiasi, non ci sono limitazioni di qualche tipo.

[axpgn]

… mmm … io ho sempre saputo che la parte letterale dei monomi dovesse avere esponente naturale altrimenti diventano razionali fratte o irrazionali (le funzioni o espressioni che ne conseguono …) … che poi con una sostituzione possano essere viste come "normali" monomi e poi ritrasformate, ok, niente da dire ma "formalmente" non sarebbero monomi (almeno nelle medie/biennio superiori … ) … IMHO

Cordialmente, Alex

[@melia]

"Zero87":
Binomio=2 monomi.
Ogni monomio può avere un grado qualsiasi, non ci sono limitazioni di qualche tipo.

Al mio professore di Algebra si rizzerebbero i capelli, se gliene fosse rimasto qualcuno.
Un polinomio è la somma di due monomi interi, non due monomi qualsiasi.

[Zero87]

"@melia":[quote="Zero87"]
Binomio=2 monomi.
Ogni monomio può avere un grado qualsiasi, non ci sono limitazioni di qualche tipo.

Al mio professore di Algebra si rizzerebbero i capelli, se gliene fosse rimasto qualcuno.
Un polinomio è la somma di due monomi interi, non due monomi qualsiasi.[/quote]
Ho riletto la definizione ( ), però allora chiedo una spiegazione.
Ricordo sul libro di testo del liceo esercizi come "calcolare $(x^(1/3)+1)^3$" considerato cubo di un binomio.
Per carità se ho scritto una sciocchezza correggo subito per il bene del forum (e mio). Davvero!

[@melia]

Ci può stare, come esercizio, come ci può stare l'esercizio postato da Filippo12, ma un polinomio, per essere tale, deve essere formato da monomi con esponenti interi positivi. Parliamo di solito di Anello dei polinomi.

[gugo82]

Beh, le regole del calcolo letterale sono “modelli” per effettuare qualsiasi tipo di calcolo, coinvolga esso numeri o espressioni di altro tipo.
Proprio in questo consiste la potenza dell’Algebra: introducendo variabili letterali, puoi fare a meno di sapere cosa c’è esattamente dentro un espressione e ragionare per “modelli”.

Tanto per fare un esempio, è chiaro che $(x^(1/3) + 1)^3$ non è un cubo di binomio (perché l’argomento della potenza non è un binomio), ma il calcolo si può svolgere applicando la formula del cubo del binomio (formalmente, perché usando la variabile ausiliaria $y=x^(1/3)$, l’espressione si muta in $(y+1)^3$ che è il cubo di un binomio).

[alessio761]

"Filippo12":grazie ,adesso mi tornano i conti ( PS: mi ero fermato perchè il libro dice cubo di un binomio, cioè cubo di un polinomio, ma un binomio non può avere grado negativo, -2 nel mio esempio ) . grazie

Hai ragione, ed evidentemente sei uno che prende (giustamente...) alla lettera le definizioni (non siete rimasti in molti...). Se però ripensi alla dimostrazione della formula chiamata "cubo di binomio" (così come per gli altri "prodotti notevoli" ) ti accorgerai che la formula è valida per il cubo di una qualunque somma ("algebrica"): volendo, iterando i "prodotti notevoli" che conosci, con tanta pazienza, ci calcoli pure questo "cubo di TRI-COSO"

\(\displaystyle (x^{1/2}-3y+z)^3= ((x^{1/2}-3y)+z)^3= (x^{1/2}-3y)^3+3 (x^{1/2}-3y)^2z+\dots =\dots\)

[ot]Comunque, mi pare di ricordare che anche una persona seria come Artin (figlio) sprechi tempo e inchiostro per scrivere una intera sezione sul "principio di permanenza delle identità[nota]Una espressione misticheggiante per dire (ciò che ora dirò in modo ancora più complicato...) che l'anello dei polinomi (su un certo insieme di indeterminate...) a coefficienti interi $\mathbb Z[(x_i)_{i\in I}]$ è l'algebra (commutativa unitaria) libera su quell'insieme, e quindi ogni relazione di identità fra polinomi a coefficienti interi dà luogo ad altrettante relazioni di uguaglianza in ogni anello commutativo unitario via opportuni omomorfismi di valutazione.[/nota]", quindi il tuo "dubbio" è forse più nobile di quel che sembra.[/ot]

[Zero87]

"gugo82":Tanto per fare un esempio, è chiaro che $(x^(1/3) + 1)^3$ non è un cubo di binomio (perché l’argomento della potenza non è un binomio), ma il calcolo si può svolgere applicando la formula del cubo del binomio (formalmente, perché usando la variabile ausiliaria $y=x^(1/3)$, l’espressione si muta in $(y+1)^3$ che è il cubo di un binomio).

In un certo senso, quindi, avevo un dubbio legittimo e ho dato per scontate - in passato, parlo del liceo - delle cose vedendo dagli esercizi. Quindi vi ringrazio per le spiegazioni e dal punto di vista della reputazione mi salvo in calcio d'angolo.