Cruccio su equazione dell'ellisse
salve a tutti...
ho la seguente equazione dell'ellisse traslata e voglio ricavare $a^2$ $b^2$ $x_c$ $y_c$ senza ricorrere al metodo del completamento del quadrato
$x^2+5y^2-6x+10y=0$
ma eguagliando i coefficienti all'equazione
$(x-x_c)^2/a^2+ (y-y_c)^2/b^2=1$
ora se moltiplico ambo i membri dell'equazione per $a^2b^2$ ottengo
$ b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_cx-2a^2y_cy+b^2x_c^2+a^2y_c^2-a^2b^2=0$
ed eguaglio membro a membro con l'ellisse traslata
${(b^2=1),(a^2=5),(-2b^2x_c=-6 rArr x_c=3),(-2a^2y_c=10 rArr y_c=-1),(b^2x_c^2+a^2y_c^2-a^2b^2=0 rArr \text{impossibile}):}$
praticamente mi ritrovo 5 condizioni con 4 incognite di cui l'ultima impossibile.
tuttavia se moltiplico solo per $a^2$ invece di $a^2b^2$ si trova.
quindi, quale errore induce moltiplicare per $a^2b^2$, oltre a creare un sistema impossibile?
grazie
ho la seguente equazione dell'ellisse traslata e voglio ricavare $a^2$ $b^2$ $x_c$ $y_c$ senza ricorrere al metodo del completamento del quadrato
$x^2+5y^2-6x+10y=0$
ma eguagliando i coefficienti all'equazione
$(x-x_c)^2/a^2+ (y-y_c)^2/b^2=1$
ora se moltiplico ambo i membri dell'equazione per $a^2b^2$ ottengo
$ b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_cx-2a^2y_cy+b^2x_c^2+a^2y_c^2-a^2b^2=0$
ed eguaglio membro a membro con l'ellisse traslata
${(b^2=1),(a^2=5),(-2b^2x_c=-6 rArr x_c=3),(-2a^2y_c=10 rArr y_c=-1),(b^2x_c^2+a^2y_c^2-a^2b^2=0 rArr \text{impossibile}):}$
praticamente mi ritrovo 5 condizioni con 4 incognite di cui l'ultima impossibile.
tuttavia se moltiplico solo per $a^2$ invece di $a^2b^2$ si trova.
quindi, quale errore induce moltiplicare per $a^2b^2$, oltre a creare un sistema impossibile?
grazie
Risposte
Moltiplicando per un numero qualsiasi ( diverso da $ 0 $) l'equazione iniziale si ottiene sempre la medesima ellisse.
Quella canonica è invece 'normalizzata': deve avere $ 1 $ a secondo membro.
Volendo applicare il procedimento che proponi (non mi piace, ma è un giudizio personale) occorre, ad esempio, introdurre una quinta incognita, scrivendo la prima come $ kx^2+5ky^2-6kx+10ky=0 $
Ciao
Quella canonica è invece 'normalizzata': deve avere $ 1 $ a secondo membro.
Volendo applicare il procedimento che proponi (non mi piace, ma è un giudizio personale) occorre, ad esempio, introdurre una quinta incognita, scrivendo la prima come $ kx^2+5ky^2-6kx+10ky=0 $
Ciao
grazie per la risposta...se mi spieghi meglio il discorso sulla normalizzazione, risolvi totalmente il mio cruccio..del resto moltiplicando per $a^2$ ambo i membri spariscono i problemi!
Vediamo un problema più semplice: retta in forma segmentaria es. $ x/3 +y/2 =1 $, se la scriviamo in forma implicita diventa $ 2x+3y-6=0 $. Supponiamo di non conoscere quella di partenza e di volerla ricavare dalla generica $ x/p+y/q=1 $. Prova e vedrai che non ci sono problemi. Ora però pensiamo che la retta in forma implicita sia scritta come $ 4x+3y-12=0 $: è la medesima retta ma non riesci più ad utilizzarla, perché? Perché nella retta in forma segmentaria $ 1 $ a secondo membro è imposto e questo comporta che una sola delle infinite maniere di scrivere la retta in forma implicita è adatta al metodo che vuoi utilizzare.
Ciao
Ciao
vediamo un po' se riesco a metterla io in un modo che va bene...
ipotizziamo di avere $x^2/{1/4}+y^2/8=1$, per scriverla in forma implicita, non moltiplico per $a^2b^2=2$ che mi darebbe
$8x^2+1/4\y^2\=2$ con coefficienti fratti, ma per $b^2=8$ che mi fornisce una forma implicita a coefficienti interi.
$32x^2+y^2=8$
ora se da $32x^2+y^2=8$ voglio ricavare $a^2,\ \b^2$; partendo da $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e
moltiplicando per $a^2b^2$, ho $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ che, eguagliata membro a membro con l'ellisse implicita iniziale, mi fissa $a^2\ \e\ \b^2$
${(a^2=1),(b^2=32),(a^2b^2=8):}$ scaricando tutto il peso sulla terza condizione che può essere vista come ramo destro dell'iperbole equilatera $b^2=8/a^2$ a cui si chiede se appartiene il punto fissato di coordinate $P(a^2=1;b^2=32)$.
mentre se moltiplico per $b^2$ ottengo $\b^2/a^2\x^2+y^2=b^2$ ho due condizioni indipendenti per due incognite
${(b^2/a^2=32),(b^2=8):}$
con particolare attenzione alla prima condizione che lega le due incognite invece di fissarle.
In altre parole, quando ho una forma implicita di un'ellisse a coefficienti interi, non so a priori quali manipolazioni abbia subito la sua forma canonica; di certo moltiplicare per $a^2b^2$ ambo i membri, algebricamente corretto essendo $a^2!=b^2!=0$, mi limita moltissimo perché fissa due incognite scaricando il peso di tale scelta su una terza condizione, che tiene memoria della manipolazioni subite dalla canonica per diventare implicita.
ipotizziamo di avere $x^2/{1/4}+y^2/8=1$, per scriverla in forma implicita, non moltiplico per $a^2b^2=2$ che mi darebbe
$8x^2+1/4\y^2\=2$ con coefficienti fratti, ma per $b^2=8$ che mi fornisce una forma implicita a coefficienti interi.
$32x^2+y^2=8$
ora se da $32x^2+y^2=8$ voglio ricavare $a^2,\ \b^2$; partendo da $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e
moltiplicando per $a^2b^2$, ho $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ che, eguagliata membro a membro con l'ellisse implicita iniziale, mi fissa $a^2\ \e\ \b^2$
${(a^2=1),(b^2=32),(a^2b^2=8):}$ scaricando tutto il peso sulla terza condizione che può essere vista come ramo destro dell'iperbole equilatera $b^2=8/a^2$ a cui si chiede se appartiene il punto fissato di coordinate $P(a^2=1;b^2=32)$.
mentre se moltiplico per $b^2$ ottengo $\b^2/a^2\x^2+y^2=b^2$ ho due condizioni indipendenti per due incognite
${(b^2/a^2=32),(b^2=8):}$
con particolare attenzione alla prima condizione che lega le due incognite invece di fissarle.
In altre parole, quando ho una forma implicita di un'ellisse a coefficienti interi, non so a priori quali manipolazioni abbia subito la sua forma canonica; di certo moltiplicare per $a^2b^2$ ambo i membri, algebricamente corretto essendo $a^2!=b^2!=0$, mi limita moltissimo perché fissa due incognite scaricando il peso di tale scelta su una terza condizione, che tiene memoria della manipolazioni subite dalla canonica per diventare implicita.
A mio avviso stai, inutilmente, complicando le cose.
Non mi pare che il metodo di moltiplicare per uno solo dei denominatori funzioni. Nel tuo esempio arrivi al risultato corretto solo perché il coefficiente di $ y^2 $ è $ 1 $, se così non fosse arriveresti ad un assurdo.
Ciao
Non mi pare che il metodo di moltiplicare per uno solo dei denominatori funzioni. Nel tuo esempio arrivi al risultato corretto solo perché il coefficiente di $ y^2 $ è $ 1 $, se così non fosse arriveresti ad un assurdo.
Ciao
"orsoulx":
Vediamo un problema più semplice: retta in forma segmentaria es. $ x/3 +y/2 =1 $, se la scriviamo in forma implicita diventa $ 2x+3y-6=0 $. Supponiamo di non conoscere quella di partenza e di volerla ricavare dalla generica $ x/p+y/q=1 $. Prova e vedrai che non ci sono problemi. Ora però pensiamo che la retta in forma implicita sia scritta come $ 4x+3y-12=0 $: è la medesima retta ma non riesci più ad utilizzarla, perché? Perché nella retta in forma segmentaria $ 1 $ a secondo membro è imposto e questo comporta che una sola delle infinite maniere di scrivere la retta in forma implicita è adatta al metodo che vuoi utilizzare.
Ciao
data $4x+3y-12=0 $ e moltiplicando ambo i membri di $ x/p+y/q=1 $ per $pq$ ottengo
${(4x+3y=12 ),(qx+py=pq):} rArr{(p=3),(q=4),(pq=12):}rArr p,\ \q \ \text{accettabili}$
c'è qualcosa nel tuo ragionamento non quadra...
"claus93":
c'è qualcosa nel tuo ragionamento non quadra...
Sì, perdonami la distrazione: la seconda forma, ottenuta dalla prima moltiplicando per due, doveva essere $ 4x+6y-12=0 $
Ciao
se moltiplico ambo i membri di $x/p+y/q=1$ per $2pq$ ottengo
${(2qx+2py-2pq=0),(4x+6y-12=0):} rArr{(2q=4),(2p=6),(2pq=12):}rArr{(q=2),(p=3),(pq=6):}rArr\text{p e q accettabili}$
il problema inizia ad essere sempre di più algebrico: devi trovare il modo per far combaciare due espressioni.
${(2qx+2py-2pq=0),(4x+6y-12=0):} rArr{(2q=4),(2p=6),(2pq=12):}rArr{(q=2),(p=3),(pq=6):}rArr\text{p e q accettabili}$
il problema inizia ad essere sempre di più algebrico: devi trovare il modo per far combaciare due espressioni.
Abbiamo, forse, concluso il giro.
Il problema è squisitamente algebrico e fin dall'inizio ti ho detto che si risolveva nel confronto fra una curva rappresentata una volta con un'equazione incondizionata da moltiplicazioni per un numero arbitrario (purchè diverso da $ 0 $) ed una seconda che 'imponeva' l' $1$ a secondo membro. Se al posto di $ 1 $ ci metti un bel parametro $ k $ tutto torna a funzionare, altrimenti come fai ad 'inventarti' di dover moltiplicare per $ 2pq $ anziché per il MCD?
Ciao
Il problema è squisitamente algebrico e fin dall'inizio ti ho detto che si risolveva nel confronto fra una curva rappresentata una volta con un'equazione incondizionata da moltiplicazioni per un numero arbitrario (purchè diverso da $ 0 $) ed una seconda che 'imponeva' l' $1$ a secondo membro. Se al posto di $ 1 $ ci metti un bel parametro $ k $ tutto torna a funzionare, altrimenti come fai ad 'inventarti' di dover moltiplicare per $ 2pq $ anziché per il MCD?
Ciao
perfetto...è stato un piacere, buona giornata!
Provo: $ \quad x^2+5y^2-6x+10y \quad = \quad 0 \quad = \quad p(x-x_c)^2+q(y-y_c)^2-r$
Trovo: $ \ p=1 \ , \ x_c=3 \ , \ q=5 \ , \ y_c=-1 \ , \ r=px_c^2+qy_c^2=14$
Divido per $r$ : $ \quad p/r(x-x_c)^2+q/r(y-y_c)^2-r/r \quad = \quad (x-3)^2/14+(y+1)^2/(14/5)-1=0$
Quindi $ \quad a^2=r/p=14 \quad $ e $ \quad b^2=r/q=14/5$
Controindicazioni ?
Post Scriptum del 4/4 ore 16.16: non conoscevo il termine "completamento del quadrato", non sono un matematico, però mi sembrava conveniente partire da una formula intermedia facilmente riconducibile alla canonica, con cinque incognite (una per equazione), aggiungendo la $r$ in modo da evitare gli inconvenienti sopra citati.
In sostanza i passaggi algebrici sono simili e uso un pseudo "completamento del quadrato" senza premetterlo e senza evidenziarlo, in modo naif.
Trovo: $ \ p=1 \ , \ x_c=3 \ , \ q=5 \ , \ y_c=-1 \ , \ r=px_c^2+qy_c^2=14$
Divido per $r$ : $ \quad p/r(x-x_c)^2+q/r(y-y_c)^2-r/r \quad = \quad (x-3)^2/14+(y+1)^2/(14/5)-1=0$
Quindi $ \quad a^2=r/p=14 \quad $ e $ \quad b^2=r/q=14/5$
Controindicazioni ?
Post Scriptum del 4/4 ore 16.16: non conoscevo il termine "completamento del quadrato", non sono un matematico, però mi sembrava conveniente partire da una formula intermedia facilmente riconducibile alla canonica, con cinque incognite (una per equazione), aggiungendo la $r$ in modo da evitare gli inconvenienti sopra citati.
In sostanza i passaggi algebrici sono simili e uso un pseudo "completamento del quadrato" senza premetterlo e senza evidenziarlo, in modo naif.
Nessuna, Rik., [strike]ma claus93 aveva chiesto di non usare questo metodo, che è quello consueto.[/strike]
Avevo, erroneamente, scambiato il tuo procedimento con il completamento del quadrato.
Stammi bene.
Avevo, erroneamente, scambiato il tuo procedimento con il completamento del quadrato.
Stammi bene.
Ma andare giù di completamento del quadrato?
$(x^2-6x)+5(y^2+2y)=0$
$(x^2-6x+9)+5(y^2+2y+1)-9-5=0$
$(x-3)^2+5(y+1)^2=14$
$(x-3)^2/14+(y+1)^2/(14/5)=1$
Fine.
$a=sqrt(14),b=sqrt(14/5)$
$(x^2-6x)+5(y^2+2y)=0$
$(x^2-6x+9)+5(y^2+2y+1)-9-5=0$
$(x-3)^2+5(y+1)^2=14$
$(x-3)^2/14+(y+1)^2/(14/5)=1$
Fine.
$a=sqrt(14),b=sqrt(14/5)$
"anto_zoolander":
Ma andare giù di completamento del quadrato?
Ma leggere le discussioni dall'inizio?
@Veciorik,
scusami
avevo frainteso il procedimento che proponevi. Così va benissimo. Correggo il mio precedente.Ciao
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