Criterio di divisibilità.
Salve!
Sia $a$ un numero intero positivo. Dire per quali interi positivi $b$ si ha che $4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2$ . Possibile suggerimento: $16a^2*b^2(a-b)^2=(4ab-1)b^2(4ab+1-8a^2)+(4a^2-1)^2*b^2$
Credo di non aver proprio capito cosa mi viene chiesto;in ogni caso non saprei da dove iniziare!!
Sia $a$ un numero intero positivo. Dire per quali interi positivi $b$ si ha che $4ab-1$ divide $(4a^2-1)^2$ . Possibile suggerimento: $16a^2*b^2(a-b)^2=(4ab-1)b^2(4ab+1-8a^2)+(4a^2-1)^2*b^2$
Credo di non aver proprio capito cosa mi viene chiesto;in ogni caso non saprei da dove iniziare!!
Risposte
Ragiona in questo modo: se $4ab-1$ deve dividere $(4a^2-1)^2$,
il resto della divisione $(4a^2-1)^2 : (4ab-1)$ dev'essere uguale a zero.
Tratta la $a$ come tua incognita e procedi con la divisione tra i due polinomi:
evidentemente ti risulterà un resto in funzione di $b$.
Ponendo tale resto uguale a zero otterrai un'equazione facilmente risolvibile,
e scartando eventuali $b \notin \mathbb{N}_0$ avrai i valori cercati.
il resto della divisione $(4a^2-1)^2 : (4ab-1)$ dev'essere uguale a zero.
Tratta la $a$ come tua incognita e procedi con la divisione tra i due polinomi:
evidentemente ti risulterà un resto in funzione di $b$.
Ponendo tale resto uguale a zero otterrai un'equazione facilmente risolvibile,
e scartando eventuali $b \notin \mathbb{N}_0$ avrai i valori cercati.
Grazie mille!
Il quesito era molto più semplice di quanto potesse sembrare.
In tutta sincerità, non capisco dove volesse andare a parare con quel suggerimento.
Ad ogni modo a me risulta $b=1/2$ , mica c'è qualche buon'amima disposta a controllare il risultato?
Il quesito era molto più semplice di quanto potesse sembrare.
In tutta sincerità, non capisco dove volesse andare a parare con quel suggerimento.
Ad ogni modo a me risulta $b=1/2$ , mica c'è qualche buon'amima disposta a controllare il risultato?
Prego! Nemmeno io ho capito il suggerimento, comunque. 
A me risulta $b=\pm 1/2$, ma dato che si chiedono gli interi positivi, non ci sono soluzioni.
Potrebbe essere interessante trovare i polinomi $b=p(a)$ che soddisfano la condizione richiesta,
ma ho la sensazione che la ricerca sarebbe un po' troppo lunga, per usare un eufemismo.
A me risulta $b=\pm 1/2$, ma dato che si chiedono gli interi positivi, non ci sono soluzioni.
Potrebbe essere interessante trovare i polinomi $b=p(a)$ che soddisfano la condizione richiesta,
ma ho la sensazione che la ricerca sarebbe un po' troppo lunga, per usare un eufemismo.
Interessante!
Suvvia, non ti chiederò di verificare il risultato, ma mi piacerebbe sapere come andrebbe impostata la cosa!
Suvvia, non ti chiederò di verificare il risultato, ma mi piacerebbe sapere come andrebbe impostata la cosa!
Ho pensato alla possibilità di cercare i polinomi di $a$ per un motivo molto semplice:
è chiaro che se $b=a$ si ottiene $4ab-1=4a^2-1$, che ovviamente divide $(4a^2-1)^2$.
Con il metodo che ti ho indicato, si ottengono i $b$ di grado $0$ rispetto ad $a$;
la soluzione $b=a$ si otterrà quindi considerando $b$ come un generico polinomio di grado $1$,
ovvero $b=k_1 a+k_0$ con $k \in \mathbb{Z}$.
In questo caso $4ab-1=4 k_1 a^2 + 4 k_0 a -1$: in sostanza, basta fare una nuova divisione.
Poiché stavolta il divisore è di grado $2$, il resto sarà di grado $1$ (ovvero conterrà la $a$),
e ponendolo uguale a zero si avrà un'equazione in due variabili ($k_1$ e $k_0$),
in cui la $a$ è trattata come costante, da risolvere cercando ancora una volta i valori interi.
Tuttavia, non solo questo procedimento è lunghissimo (e presumibilmente si avranno diverse complicazioni),
ma in questo modo si trovano solo i polinomi di $a$ con grado $1$.
Per ottenere tutti i polinomi bisognerebbe porre $b=k_4 a^4 + k_3 a^3 + k_2 a^2 + k_1 a + k$,
che, se anche fosse risolvibile (e non ne sono affatto sicuro), richiederebbe un'eternità di tempo.
è chiaro che se $b=a$ si ottiene $4ab-1=4a^2-1$, che ovviamente divide $(4a^2-1)^2$.
Con il metodo che ti ho indicato, si ottengono i $b$ di grado $0$ rispetto ad $a$;
la soluzione $b=a$ si otterrà quindi considerando $b$ come un generico polinomio di grado $1$,
ovvero $b=k_1 a+k_0$ con $k \in \mathbb{Z}$.
In questo caso $4ab-1=4 k_1 a^2 + 4 k_0 a -1$: in sostanza, basta fare una nuova divisione.
Poiché stavolta il divisore è di grado $2$, il resto sarà di grado $1$ (ovvero conterrà la $a$),
e ponendolo uguale a zero si avrà un'equazione in due variabili ($k_1$ e $k_0$),
in cui la $a$ è trattata come costante, da risolvere cercando ancora una volta i valori interi.
Tuttavia, non solo questo procedimento è lunghissimo (e presumibilmente si avranno diverse complicazioni),
ma in questo modo si trovano solo i polinomi di $a$ con grado $1$.
Per ottenere tutti i polinomi bisognerebbe porre $b=k_4 a^4 + k_3 a^3 + k_2 a^2 + k_1 a + k$,
che, se anche fosse risolvibile (e non ne sono affatto sicuro), richiederebbe un'eternità di tempo.
Tutto chiaro, grazie mille!
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