Criterio di derivabilità
Non riesco a capire bene la dimostrazione che il mio libro dà riguardo il criterio di derivabilità. Vi riporto l'enunciato e la dimostrazione:
TEOREMA: se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$, derivabile in $]a;b[$a eccezione al più di un punto $x_0 in ]a;b[$:
$f'__ (x_0) = lim_(x->x_0^-) f'(x)$ e $f'_+ (x_0) = lim_(x->x_0^+) f'(x)$.
In particolare, se
$lim_(x->x_0^-) f'(x) = lim_(x->x_0^+) f'(x) = l$,
allora la funzione è derivabile in $x_0$ e risulta:
$f'(x_0) = l$.
DIMOSTRAZIONE:
se consideriamo un punto $x
$(f(x_0) - f(x))/(x_0 - x) = f'(c)$.
Calcoliamo i limiti dei due membri per $x->x_0^-$. Al primo membro, per definizione di derivata sinistra, si ha:
$lim_(x->x_0^-) (f(x_0) - f(x))/(x_0 - x) = f'__ (x_0)$.
Quest'ultimo passaggio non l'ho proprio capito. La definizione di derivata sinistra è $f'__ (c) = lim_(h->0^-) (f(c+h) - f(c))/h$. Quindi, da quest'ultima definizione che ho riportato, è l'incremento della $x$ che tende a $0$, non la $x$ che tende alla $x$ + incremento.
Per convincermi che la derivata sinistra si può definire proprio come ha fatto l'autore nella dimostrazione ho fatto un esempio con una funzione $f(x)= x^2 +2x$. $f'(x) = 2x +2$.
Pongo $x_0 =1$ e calcolo la derivata sinistra della funzione in $x_0$: $lim_(x->1^-) f'(x) = 4$.
Calcolo la derivata sinistra della funzione in $x_0$ facendo riferimento alla formula che dà il libro nella dimostrazione: $lim_(x->1^-) (3-(x^2+2x))/(1-x) = 4$.
Ora, per calcolare questo limite ho usato Hopital, e l'autore non presuppone che il lettore conosca già questo teorema, quindi immagino avrei dovuto capire la bontà della definizione in un'altra maniera.
Quindi la domanda è: perché quella definizione di derivata sinistra è corretta?
TEOREMA: se $f(x)$ è una funzione continua in $[a;b]$, derivabile in $]a;b[$a eccezione al più di un punto $x_0 in ]a;b[$:
$f'__ (x_0) = lim_(x->x_0^-) f'(x)$ e $f'_+ (x_0) = lim_(x->x_0^+) f'(x)$.
In particolare, se
$lim_(x->x_0^-) f'(x) = lim_(x->x_0^+) f'(x) = l$,
allora la funzione è derivabile in $x_0$ e risulta:
$f'(x_0) = l$.
DIMOSTRAZIONE:
se consideriamo un punto $x
$(f(x_0) - f(x))/(x_0 - x) = f'(c)$.
Calcoliamo i limiti dei due membri per $x->x_0^-$. Al primo membro, per definizione di derivata sinistra, si ha:
$lim_(x->x_0^-) (f(x_0) - f(x))/(x_0 - x) = f'__ (x_0)$.
Quest'ultimo passaggio non l'ho proprio capito. La definizione di derivata sinistra è $f'__ (c) = lim_(h->0^-) (f(c+h) - f(c))/h$. Quindi, da quest'ultima definizione che ho riportato, è l'incremento della $x$ che tende a $0$, non la $x$ che tende alla $x$ + incremento.
Per convincermi che la derivata sinistra si può definire proprio come ha fatto l'autore nella dimostrazione ho fatto un esempio con una funzione $f(x)= x^2 +2x$. $f'(x) = 2x +2$.
Pongo $x_0 =1$ e calcolo la derivata sinistra della funzione in $x_0$: $lim_(x->1^-) f'(x) = 4$.
Calcolo la derivata sinistra della funzione in $x_0$ facendo riferimento alla formula che dà il libro nella dimostrazione: $lim_(x->1^-) (3-(x^2+2x))/(1-x) = 4$.
Ora, per calcolare questo limite ho usato Hopital, e l'autore non presuppone che il lettore conosca già questo teorema, quindi immagino avrei dovuto capire la bontà della definizione in un'altra maniera.
Quindi la domanda è: perché quella definizione di derivata sinistra è corretta?
Risposte
Non capisco il dubbio.
Dimentichiamoci derivata destra e sinistra.
$ lim_(x -> x_0) (f(x_0)-f(x))/(x_0-x) $
significa solo "prendere la pendenza fra un punto fisso e un punto generico e poi farne il limite in modo che i punti si avvicinino a piacere" (detta in modo molto rozzo ma concreto).
In genere sostituiscono $h=x_0-x$ quindi per $x -> x_0$ allora $h -> 0$
Sostituendo abbiamo $x_0=x+h$ quindi il limite diventa:
$ lim_(h -> 0) (f(x+h)-f(x))/h $
I due limiti sono identici.
Visto che stiamo studiando funzione ad una variabile indipendente ci sono solo due direzioni (forzate) da cui si può "giungere" ad un punto, segue che per definire la derivabilità è sufficiente che i limiti destro e sinistro coincidano.
Poi quando passerai a più variabili indipendenti, allora non sarà più così immediato il concetto.
Fissa un punto sul foglio e guarda da quante direzioni e possibili percorsi puoi giungere a quel punto
Quindi non complicarti la vita adesso...ci penseranno altri a farlo per te.
Dimentichiamoci derivata destra e sinistra.
$ lim_(x -> x_0) (f(x_0)-f(x))/(x_0-x) $
significa solo "prendere la pendenza fra un punto fisso e un punto generico e poi farne il limite in modo che i punti si avvicinino a piacere" (detta in modo molto rozzo ma concreto).
In genere sostituiscono $h=x_0-x$ quindi per $x -> x_0$ allora $h -> 0$
Sostituendo abbiamo $x_0=x+h$ quindi il limite diventa:
$ lim_(h -> 0) (f(x+h)-f(x))/h $
I due limiti sono identici.
Visto che stiamo studiando funzione ad una variabile indipendente ci sono solo due direzioni (forzate) da cui si può "giungere" ad un punto, segue che per definire la derivabilità è sufficiente che i limiti destro e sinistro coincidano.
Poi quando passerai a più variabili indipendenti, allora non sarà più così immediato il concetto.
Fissa un punto sul foglio e guarda da quante direzioni e possibili percorsi puoi giungere a quel punto
Quindi non complicarti la vita adesso...ci penseranno altri a farlo per te.
Ho capito la tua spiegazione. In effetti non avevo visto la cosa da quel punto di vista (cioè $h=x_0 - x$), e quindi non riuscivo a giustificare perché la derivata sinistra fosse espressa proprio da quel limite.
A complicarmi le cose con la matematica non ci tengo affatto comunque! Per ora mi basta capire la teoria di base; e riconoscere una derivata sinistra quando la vedo credo sia proprio d'obbligo!
A complicarmi le cose con la matematica non ci tengo affatto comunque! Per ora mi basta capire la teoria di base; e riconoscere una derivata sinistra quando la vedo credo sia proprio d'obbligo!
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