Criteri di convergenza per gli integrali impropri
Buonasera a tutti!
Come al solito, studiando da autodidatta, mi sono imbattuto in alcune difficoltà! Ho studiato i criteri di convergenza per gli integrali impropri; precisamente i criteri sugli ordini di infinitesimo e di infinito. Dovrei utilizzare proprio questi ultimi per stabilire i valori del parametro reale $alpha$ per i quali risulta convergente l'integrale:
$int_{0}^{1} (1-cosx)/x^alpha dx$.
Ho osservato che la funzione integranda non è definita in $x=0$. Si sfrutta allora il criterio di integrabilità sugli ordini di infinito. Non dovrei avere problemi nell'applicazione del teorema, solo che non riesco a calcolare l'ordine di infinito della funzione integranda quando $x->0^+$. Potreste darmi qualche dritta?
Analogo problema con l'integrale $int_{1}^{+oo} x^alphasin(1/x) dx$, per il quale suppongo si debba sfruttare il criterio di integrabilità sugli ordini di infinitesimo.
Vi ringrazio anticipatamente.
Andrea.
Come al solito, studiando da autodidatta, mi sono imbattuto in alcune difficoltà! Ho studiato i criteri di convergenza per gli integrali impropri; precisamente i criteri sugli ordini di infinitesimo e di infinito. Dovrei utilizzare proprio questi ultimi per stabilire i valori del parametro reale $alpha$ per i quali risulta convergente l'integrale:
$int_{0}^{1} (1-cosx)/x^alpha dx$.
Ho osservato che la funzione integranda non è definita in $x=0$. Si sfrutta allora il criterio di integrabilità sugli ordini di infinito. Non dovrei avere problemi nell'applicazione del teorema, solo che non riesco a calcolare l'ordine di infinito della funzione integranda quando $x->0^+$. Potreste darmi qualche dritta?
Analogo problema con l'integrale $int_{1}^{+oo} x^alphasin(1/x) dx$, per il quale suppongo si debba sfruttare il criterio di integrabilità sugli ordini di infinitesimo.
Vi ringrazio anticipatamente.
Andrea.
Risposte
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Forse non ho espresso chiaramente i dubbi?! Non saprei... in caso rivolgetemi domande più precise...
Grazie ancora!
Forse non ho espresso chiaramente i dubbi?! Non saprei... in caso rivolgetemi domande più precise...
Grazie ancora!
Se ben ricordo (ma ti consiglio di controllare) un integrale compreso fra estremi finiti converge se la funzione integranda é limitata fra i due estremi e avvicinandosi ad essi resta limitata o ha un infinito di ordine inferiore a 1. Consideriamo il primo integrale: la funzione integranda è scrivibile come $(1-cos \alpha)/(x^2)*1/(x^(\alpha-2))$ e poichè per x tendente a zero la prima frazione tende ad $1/2$ occorre che sia $\alpha-2<1$.
Per il secondo integrale conviene porre t=1/x e poi ragionare in modo analogo.
Per il secondo integrale conviene porre t=1/x e poi ragionare in modo analogo.
Avevo abbandonato la questione, ripromettendomi di ritornarci dopo del tempo. E così sto facendo! I suggerimento datomi da giammaria è compatibile con quanto affermato nel testo in mio possesso. Mi è chiaro lo studio della convergenza del secondo integrale che ho proposto; tuttavia resta qualche dubbio sul primo integrale.
Non ho afferrato il nesso tra l'ordine di infinito e la condizione $alpha-2<1$. Qualcuno potrebbe chiarirmi questo passaggio?
Non ho afferrato il nesso tra l'ordine di infinito e la condizione $alpha-2<1$. Qualcuno potrebbe chiarirmi questo passaggio?
Perché $int_0^1 1/x^a dx$ converge solo quando l'esponente è minore di 1.
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