Cos pi/12 e sin pi/12 con la bisezione

[Newton_1372]

Salve a tutti. Passo subito al dunque.
Volendo trovare cos pi/12 con la bisezione (cioè come la metà di pi/6)si ottiene il seguente risultato:

[math] cos(pi/12) = \frac{sqrt{1+cos(pi/6)}}{2}=\frac{sqrt{1+\frac{sqrt{3}}{2}} = \frac{sqrt{sqrt{3}+2}}}{2} [/math]

.
https://www.skuola.net/
Questo risultato sembra tuttavia discordare dalle tavole degli angoli notevoli, che da come risultato (sqrt(6)+sqrt(2))/4.

Evidentemente i due numeri sono uguali. Come posso giungere per passaggi algebrici progressivi a giungere a (sqrt(6)+sqrt(2))/4 partendo da sqrt(sqrt(3)+2)/2?
Grazie anticipate.

[numerouno]

[math](\sqrt(6)+\sqrt(2))/4=\sqrt(\sqrt(3)+2)/2[/math]

moltiplichi per 4

[math](\sqrt(6)+\sqrt(2))=2x\sqrt(\sqrt(3)+2)[/math]

elevi al quadrato (a sinistra quadrato del binomio)

[math]6+2 + 2x\sqrt(12)=4x(\sqrt(3)+2)[/math]

[math]6+2 + 2x\sqrt(12)=4x\sqrt(3)+8[/math]

[math] 2x\sqrt(12)=4x\sqrt(3)[/math]

dimostrato dato che 12 = 4x3 e

[math]\sqrt(4x3)=\sqrt(4)x\sqrt(3)=2x\sqrt(3)[/math]

Lieto di esserti stato utile
però è un pò una "pippa mentale" :lol

[Newton_1372]

Sarà ma non ci ho dormito la notte!!! Cmq non intendevo questo! Intendevo dire PERCHE con la bisezione non ho ottenuto sqrt(6)+sqrt(2)/4?!!!

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Non è tanto per la trigonometria in se stessa, mi serviva per risolvere un problema coi numeri complessi. Se quelle due quantità sono uguali allora deve esserci un modo per fare una cosa seguente

sqrt(sqrt(3)+2)/2 = ......=......=......=......= sqrt(2)+sqrt(6)/4

Aggiunto 27 minuti più tardi:

Riepeto la domanda con più chiarezza...come posso passare algebricamente da sqrt(sqrt(3)+2)/2 fino a sqrt(2)+sqrt(6)/4? Grazie

[ciampax]

Allora, con la bisezione ottieni

[math]\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}/2}{2}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}[/math]

Ora si tratta di risolvere il radicale doppio

[math]\sqrt{2+\sqrt{3}}[/math]

(che è la cosa che ha tentato di spiegarti numerouno. La formula dei radicali doppi ti dice che

[math]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/math]

con la condizione che

[math]a^2-b[/math]

è un quadrato esatto. Visto che in questo caso

[math]a=2,\ b=3[/math]

, avrai

[math]4-3=1[/math]

e quindi

[math]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt{\frac{2-1}{2}}=
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}[/math]

Infine

[math]\cos\frac{\pi}{12}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/math]

che è quanto cercavi.

[Newton_1372]

grazieeee!!!! VI VOGLIO BENE RAGAZZIII!

Aggiunto 26 secondi più tardi:

FINALMENTE TUTTO COMINCIA A QUADRARE!

Aggiunto 13 secondi più tardi:

RADICE QUADRATA COMPRESA!