Correzione problema sulle successioni
Ho appena tentato di risolvere questo problema, ma non credo si averlo fatto bene. Ecco il testo:
Determinare il termine n-esimo della successione $ a_k $ definita in modo tale che $ a_0=a $, $ a_1=b $ e $a_k=a_0*a_1*...*a_(k-1)+2$ per $ k>1 $.
Ho ragionato così:
$a_k=a_0a_1...a_(k-1)+2$ dunque $a_(k-1)=a_0a_1...a_(k-2)+2$, sottraggo membro a membro e ottengo $a_k-a_(k-1)=(a_0a_1...a_(k-2))(a_(k-1)-1)$, ma poiché il primo fattore del secondo membro è uguale a $ a_(k-1)-2$ allora l'equazione diventa $ a_k-a_(k-1)=(a_(k-1)-2)(a_(k-1)-1)=(a_(k-1))^2-3a_(k-1)+2 $, da cui $ a_k=(a_(k-1))^2-2a_(k-1)+2 $, sottraendo $ 1 $ a entrambi i membri ottengo $ a_k=(a_(k-1)-1)^2+1 $. Da quest'ultima formula capisco che il termine n-esimo può essere ottenuto sottraendo 1 al termine precedente, elevare tutto al quadrato e aggiungere 1. Pertanto posso scrivere la serie in questo modo: $ a, b, (b-1)^2+1, (b-1)^4+1... $, dunque $ a_n=(b-1)^(2^(n-1))+1 $.
Ho controllato più volte e non capisco dove sia il mio errore, se mi aiutaste mi farebbe un gran piacere, grazie!
Determinare il termine n-esimo della successione $ a_k $ definita in modo tale che $ a_0=a $, $ a_1=b $ e $a_k=a_0*a_1*...*a_(k-1)+2$ per $ k>1 $.
Ho ragionato così:
$a_k=a_0a_1...a_(k-1)+2$ dunque $a_(k-1)=a_0a_1...a_(k-2)+2$, sottraggo membro a membro e ottengo $a_k-a_(k-1)=(a_0a_1...a_(k-2))(a_(k-1)-1)$, ma poiché il primo fattore del secondo membro è uguale a $ a_(k-1)-2$ allora l'equazione diventa $ a_k-a_(k-1)=(a_(k-1)-2)(a_(k-1)-1)=(a_(k-1))^2-3a_(k-1)+2 $, da cui $ a_k=(a_(k-1))^2-2a_(k-1)+2 $, sottraendo $ 1 $ a entrambi i membri ottengo $ a_k=(a_(k-1)-1)^2+1 $. Da quest'ultima formula capisco che il termine n-esimo può essere ottenuto sottraendo 1 al termine precedente, elevare tutto al quadrato e aggiungere 1. Pertanto posso scrivere la serie in questo modo: $ a, b, (b-1)^2+1, (b-1)^4+1... $, dunque $ a_n=(b-1)^(2^(n-1))+1 $.
Ho controllato più volte e non capisco dove sia il mio errore, se mi aiutaste mi farebbe un gran piacere, grazie!
Risposte
La formula di ricorrenza, sulla quale hai lavorato, vale solo per $k>1$ e quindi la tua $ a_k=(a_(k-1)-1)^2+1 $ non può essere usata per calcolare $a_2$; il calcolo diretto dà invece $a_2=ab+2=(ab+1)^1+1$. La formula finale è quindi
$ a_n=(ab+1)^(2^(n-2))+1 $
$ a_n=(ab+1)^(2^(n-2))+1 $
"giammaria":
La formula di ricorrenza, sulla quale hai lavorato, vale solo per $k>1$ e quindi la tua $ a_k=(a_(k-1)-1)^2+1 $ non può essere usata per calcolare $a_2$; il calcolo diretto dà invece $a_2=ab+2=(ab+1)^1+1$. La formula finale è quindi
$ a_n=(ab+1)^(2^(n-2))+1 $
Ho capito l'errore, vedrò di fare più attenzione la prossima volta, grazie. Così per sapere, questo problema fa parte di un argomento in particolare? Perché per quanto riguarda le successioni ho studiato solo quelle aritmetiche, geometriche, e miste.
Si studiano anche le successioni in generale; probabilmente le vedrai l'anno prossimo.
Aggiungo una precisazione su $a_2$: a prima vista sembrerebbe di poter usare la tua formula ponendovi $k=2>1$. Non è così perché per dimostrarla hai usato la ricorrenza fra $a_(k-1)$ ed $a_(k-2)$ assumendo quindi che si avesse $k>2$.
Ti do anche un consiglio: in presenza di formule di ricorrenza quasi sempre conviene usarle per calcolare le prime $a_k$: è un bell'aiuto per trovare la formula generale, controllarla ed evitare errori.
Aggiungo una precisazione su $a_2$: a prima vista sembrerebbe di poter usare la tua formula ponendovi $k=2>1$. Non è così perché per dimostrarla hai usato la ricorrenza fra $a_(k-1)$ ed $a_(k-2)$ assumendo quindi che si avesse $k>2$.
Ti do anche un consiglio: in presenza di formule di ricorrenza quasi sempre conviene usarle per calcolare le prime $a_k$: è un bell'aiuto per trovare la formula generale, controllarla ed evitare errori.
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