Correzione limite+integrale+derivata
Salve... Volevo chiedere se questo limite, questo integrale e questa derivata seconda sono giusti:
$lim_(x->pi/2) (cosx*sinx)/(e^x*tg2x)$
Moltiplico sia sopra che sotto per 2 e ottengo
$lim_(x->pi/2) (2cosx*sinx)/(2*e^x*tg2x)$
Noto che $2cosxsinx = sin2x$, porto fuori dal limite $1/2$, riscrivo la tangente come $(sin2x)/(cos2x)$ e ottengo
$1/2lim_(x->pi/2) (sin2x)/(e^x)*(cos2x)/(sin2x)$
Semplifico e ottengo
$1/2lim_(x->pi/2)(cos2x)/(e^x) = -1/(2*e^(pi/2)$
L'integrale in questione è invece questo:
$\int x^7*sinx^4 dx = 1/4*\int 4x^3*x^4*sinx^4dx$
Pongo $x^4 = u$ e $du = 4x^3 dx$
Quindi il mio integrale diventa:
$1/4*\int u*sin u du$
che risolvo per parti:
$-1/4*(cos u*u+\int cosudu) = -1/4cosx^4*x^4-1/4sinx^4 +c$
infine un dubbio sulla derivata seconda, che nasce dallo studio del grafico di una funzione (per trovare la concavità).
Il grafico mi viene giusto (ho controllato con ZGrapher), e quindi sbaglio qualcosa nella derivata seconda:
$f(x) = x/(lnx)$
$f'(x) = (lnx-1)/(lnx)^2$
$f''(x) = (1/x*(lnx)^2-(ln x -1)(2*1/x*lnx))/ln^4x = ((-(lnx)^2+2lnx)/x)/(ln^4x)$
Studio il segno del numeratore, perché il denominatore è sempre positivo:
$(lnx)^2/x-(2lnx)/x < 0$
Numeratore > 0
Pongo $t = lnx$ e ottengo:
$t(t-2) > 0;$
$ lnx > 0; x > 1$
$ln x > 2; x > e^2$
E adesso?
Io ho trovato che tra 0 e 1 la funzione dovrà avere concavità verso il basso, tra 1 e e^2 concvità verso l'alto da e^2 all'infinito concavità verso il basso... E' giusto?
Grazie mille a tutti!
$lim_(x->pi/2) (cosx*sinx)/(e^x*tg2x)$
Moltiplico sia sopra che sotto per 2 e ottengo
$lim_(x->pi/2) (2cosx*sinx)/(2*e^x*tg2x)$
Noto che $2cosxsinx = sin2x$, porto fuori dal limite $1/2$, riscrivo la tangente come $(sin2x)/(cos2x)$ e ottengo
$1/2lim_(x->pi/2) (sin2x)/(e^x)*(cos2x)/(sin2x)$
Semplifico e ottengo
$1/2lim_(x->pi/2)(cos2x)/(e^x) = -1/(2*e^(pi/2)$
L'integrale in questione è invece questo:
$\int x^7*sinx^4 dx = 1/4*\int 4x^3*x^4*sinx^4dx$
Pongo $x^4 = u$ e $du = 4x^3 dx$
Quindi il mio integrale diventa:
$1/4*\int u*sin u du$
che risolvo per parti:
$-1/4*(cos u*u+\int cosudu) = -1/4cosx^4*x^4-1/4sinx^4 +c$
infine un dubbio sulla derivata seconda, che nasce dallo studio del grafico di una funzione (per trovare la concavità).
Il grafico mi viene giusto (ho controllato con ZGrapher), e quindi sbaglio qualcosa nella derivata seconda:
$f(x) = x/(lnx)$
$f'(x) = (lnx-1)/(lnx)^2$
$f''(x) = (1/x*(lnx)^2-(ln x -1)(2*1/x*lnx))/ln^4x = ((-(lnx)^2+2lnx)/x)/(ln^4x)$
Studio il segno del numeratore, perché il denominatore è sempre positivo:
$(lnx)^2/x-(2lnx)/x < 0$
Numeratore > 0
Pongo $t = lnx$ e ottengo:
$t(t-2) > 0;$
$ lnx > 0; x > 1$
$ln x > 2; x > e^2$
E adesso?
Io ho trovato che tra 0 e 1 la funzione dovrà avere concavità verso il basso, tra 1 e e^2 concvità verso l'alto da e^2 all'infinito concavità verso il basso... E' giusto?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Il limite mi sembra giusto.
Nell'integrale c'è un errore di segno nell'ultima riga; sei stato troppo frettoloso nel mettere in evidenza un meno.
La derivata seconda mi sembra giusta; io avrei preferito semplificare il denominatore (positivo in campo di esistenza) e calcolare subito Numeratore<0. Perchè dici che sbagli?
Nell'integrale c'è un errore di segno nell'ultima riga; sei stato troppo frettoloso nel mettere in evidenza un meno.
La derivata seconda mi sembra giusta; io avrei preferito semplificare il denominatore (positivo in campo di esistenza) e calcolare subito Numeratore<0. Perchè dici che sbagli?
Grazie mille giammaria!
Nell'integrale hai perfettamente ragione! Rifacendolo mi sono accorto dell'errore di segno: viene
$1/4sinx^4-1/4*x^4*cosx^4 + c$
Per la derivata mi sembrava ci fosse un errore perché dal grafico non emergeva un cambio di flesso in e^2! Meglio così!
Grazie ancora!
Nell'integrale hai perfettamente ragione! Rifacendolo mi sono accorto dell'errore di segno: viene
$1/4sinx^4-1/4*x^4*cosx^4 + c$
Per la derivata mi sembrava ci fosse un errore perché dal grafico non emergeva un cambio di flesso in e^2! Meglio così!
Grazie ancora!
"Ruci":Dopo il minimo doveva esserci un cambio di concavità: infatti per x tendente a +infinito la funzione tende a +infinito, ma cercando l'asintoto obliquo trovi che ha pendenza zero: la funzione sale spianandosi ed ha quindi concavità verso il basso, mentre nel minimo ce l'ha verso l'alto.
dal grafico non emergeva un cambio di flesso in e^2
Ok! Allora è corretto come l'ho corretto!! 
Tnx a lot!
Tnx a lot!
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