Correzione integrale!

[issima90]

raga ho bisogno che mi diciate se queti integrali sono giusti!!!ne posto uno alla volta!!!

[math]\int(\sqrt[5]{x-1}+\frac{1}{\sqrt[5]{x-1}})dx[/math]

[math]\int(x-1)^{\frac{1}{5}}dx+\int(x-1)^{-\frac{1}{5}}dx[/math]

[math]\frac{5}{6}(x-1)^{\frac{6}{5}}+\frac{5}{4}(x-1)^{-\frac{4}{5}}+1[/math]

[math]\frac{5}{6}\sqrt[5]{(x-1)^6}+\frac{5}{4}\frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^4}+C[/math]

[xico87]

[math]\int(x-1)^{\frac{1}{5}}dx+\int(x-1)^{-\frac{1}{5}}dx[/math]

[math]\frac{5}{6}(x-1)^{\frac{6}{5}}+\frac{5}{4}(x-1)^{+\frac{4}{5}} +C [/math]

non capisco da dove prendi l'1 (terza riga). poi stai attenta all'esponente (+4/5).
resta il fatto che si fa per sostituzione pure questo (basta porre x-1 = t)

[issima90]

ok..ho capito...la radice andava al numeratore..che stupida..ho sbagliato...
ne posto un altro!!!

[math]\int\frac{sin(2x)}{1+sin^2x}dx[/math]

io h fatto:

[math]\int\frac{2cosxsinx}{1+sin^2x}dx[/math]

so che la derivata di 1+sin^2x è 2cosxsinx..perciò pensavo:

[math]\int(1+sin^2x)^{-1}d(1+sin^2x)= \frac{(1+sin^2x)^{-1+1}}{0}[/math]

è giusto???

[the.track]

Mmmm...

Io direi:

[math]\int \frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)\;dx= ln|f(x)|[/math]

Direi che funziona nel tuo caso. ;)

[issima90]

che cretina..sn un pò scema....
questo?

[math]\int\frac{3}{e^x+3}dx[/math]

come devo fare???metodo per parti?
se è sostituzione...nn capisco quando devo farla!!!!!!

[the.track]

Direi che puoi sommare e togliere

[math]e^x[/math]

a numeratore ottenendo:

[math]\int \frac{e^x+3-e^x}{e^x+3}\;dx[/math]

Ora distribuisci il numeratore in questo modo:

[math]\int \frac{e^x+3}{e^x+3}\;dx-\int \frac{e^x}{e^x+3}\;dx[/math]

Da qui credo sia più facile. ;)

[issima90]

si ok...c'ero riuscita!!!ne avrei un altro...

[math]\int e^xsin^2xdx[/math]

...qui suppongo ci voglia il metodo per parti..peò non arrivo a togliere l'integrale!!!

[xico87]

per parti 2 volte (la derivata di senxcosx è cos^2x - sen^2x = 1-2sen^2x). alla fine devi sfruttare lo stesso metodo che ti abbiamo suggerito nell'altro thread e risolvere 1 integrale elementare

[issima90]

mmmmmmmmm!!!allora io ho fatto:

[math]\int sin^2xde^x=e^xsin^2x+\int e^xsin2x[/math]

poi?

ne posto altri così non vi rubo tano tempo:
2)

[math]\int\sqrt{9-x^2}dx=\int(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}dx=-\frac{1}{2}\int(9-x^2)^{-\frac{1}{2}}d(9-x^2)=-\frac{1}{2}\sqrt{(9-x^2)^3}+C[/math]

è giusto?

3)

[math]\int\frac{dx}{cotg^3xsin^2x}=\int\frac{tg^3x}{sin^2x}=\int\frac{sinx}{cos^2x}=\int\cos^{-3}dcosx=\frac{1}{2cos^2x}+C[/math]

è giusto?

4)

[math]\int\frac{dx}{2x^3-3x^2+x}=
\int\frac{2x^3-3x^2+x-(2x^3-3x^2+x)}{2x^3-3x^2+x}dx=[/math]

[math]\int\frac{2x^3-3x^2+x}{2x^3-3x^2+x}dx-(\int2x^3dx-\int3x^2dx+\int x\,dx)[/math]

è giusto continuare così?

[ciampax]

1) Per il primo, sostituisci il seno al quadrato dalla formula di bisezione. Avrai

[math]\int e^x\ \sin^2 x\ dx=\int e^x\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx=\int \frac{e^x}{2}\ dx-\frac{1}{2}\int e^x\ \cos 2x\ dx[/math]

Il primo integrale è semplice, mentre per il secondo puoi usare l'integrazione per parti come nell'altro post che avevi scritto un po' di giorni fa.


2) Questo tipo di integrali, e cioè quelli in cui compare la funzione

[math]\sqrt{a^2-x^2}[/math]

vanno risolti utilizzando la sostituzione

[math]x=a\sin t,\qquad dx=a\cos t\ dt[/math]

risolvendo l'integrale stesso ed usando, infine, la sostituzione inversa

[math]t=\arcsin\frac{x}{a},\qquad \sin t=\frac{x}{a},\qquad \cos t=\sqrt{1-(x/a)^2}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}.[/math]

Nel tuo caso, posto

[math]x=3\sin t[/math]

ottieni

[math]\int \sqrt{9-9\sin^2 t}\ 3\cos t\ dt=9\int\cos^2 t\ dt.[/math]

Per risolvere questo integrale, usa la formula di bisezione

[math]\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}[/math]

.

Prova a farlo e controlla che il risultato sia

[math]\frac{1}{2}\left(\arcsin\frac{x}{3}+\frac{x\sqrt{9-x^2}}{9}\right)+c[/math]

questo dopo aver calcolato l'integrale e fatto le sostituzioni inverse.


3) E' giusto, ma stai attenta all'esponente del coseno nel terzo membro dell'uguaglianza!


4) Quest'ultimo integrale l'hai fatto in maniera terribile! :) Per risolverlo, decomponi il denominatore della frazione:

[math]2x^3-3x^2+x=x(2x^2-3x+1)=x(2x-1)(x-1)[/math]

e quindi trovi che

[math]\frac{1}{x(2x-1)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x-1}=\frac{A(2x-1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(2x-1)}{x(2x-1)(x-1)}.[/math]

A questo punto la prima eultima frazione sono uguali se e solo se lo sono i numeratori, quindi

[math]A(2x-1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(2x-1)=1[/math]

Tale uguaglianza vale per ogni x, quindi ottieni, scegliendo opportunamente x che

[math]x=0\qquad\qquad A=1[/math]

[math]x=1\qquad\qquad C=1[/math]

[math]x=1/2\qquad\qquad -B/4=1\qquad B=-4[/math]

e quindi il tuo integrale diventa

[math]\int\frac{1}{2x^3-3x^2+x}\ dx=\int\frac{1}{x}\ dx-\int\frac{4}{2x-1}\ dx+\int\frac{1}{x-1}\ dx,[/math]

che è molto semplice da calcolare.

Se hai problemi, fammi sapere! :)

[issima90]

grazie ciampax...sei stato chiarissimo!!!!il problema più grande è che io avevo fatto solo due metodi!!quindi tante così sono state forzate a qulla risoluzione!!!cmq ora è tt chiaro!!!grazie!!!

[ciampax]

Prego :)
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