Correzione espressione

[alessandroass]

Potreste dirmi se ho risolto correttamente questa piccola moltiplicazione?:

[math](2a^{2n}-1)\cdot(1-2a^{2n})[/math]

risultato

[math]2a^{2n}-4a^{4n}-1+2a^{2n}[/math]

Questo tipo di espressione ha qualche nome particolare e si risolve in un determinato modo, oppure si esegue una normalissima moltiplicazione tra polinomi?

Grazie!

[romano90]

Si me sembra giusto.

Puoi anche sommare i 2 termini con

[math]a^{2n}[/math]

dato che sono simili ( stessa parte letterale)

[aleio1]

se raccogli un -1 un uno dei 2 fattori ottieni:

[math](2a^{2n}-1)\cdot(1-2a^{2n})=(2a^{2n}-1)\cdot (-1) \cdot (2a^{2n}-1)=-(2a^{2n}-1)^2=[/math]

[math]=-(4a^{4n}+1-4a^{2n})=-4a^{4n}+4a^{2n}-1[/math]

quindi è un semplice quadrato di binomio al quale dovrai cambiare i segni una volta svolto.

In ogni caso il tuo risultato è giusto. (ricordati che puoi sommare i due

[math]2a^{2n}[/math]

.

ti trovi?

[alessandroass]

Nel secondo passaggio il -1 l'hai potuto mettere lì in mezzo solo perchè è 1 o si può mettere in qualsiasi caso?
In poche parole, non mi è chiaro questo passaggio e domani ho il compito :(:

[math](2a^{2n}-1)\cdot (-1) \cdot (2a^{2n}-1)[/math]

[BIT5]

[math](2a^{2n}-1) (-(a^{2n}-1))[/math]

Ha semplicemente raccolto il fattore -1.

A questo punto, siccome per la proprieta' commutativa i fattori possono essere moltiplicati in qualunque ordine, ha moltiplicato prima le due quantita' analoghe (sviluppando il quadrato del binomio) e poi ha moltiplicato per il -1 (precedentemente raccolto)

E' un metodo diverso, che senza dubbio esalta la conoscenza del quadrato del binomio, ma come l'hai svolta tu va benissimo ugualmente.

[alessandroass]

Si, infatti la professoressa vuole che applichiamo la proprietà del quadrato, segnandoci come errore la maniera in cui l'ho risolta io :(

Ma se invece di -1 c'era per esempio +4 si poteva raccogliere il +4 o no?

Grazie !

[romano90]

[math](2a^{2n}-1)(4-8a^{2n})
\\

(2a^{2n}-1)(-4)(-1+2a^{2n})

\\

(-4)(2a^{2n}-1)^2


[/math]

Si puoi raccogliere il 4 se c'era; in linea generale devi vedere se, raccogliendo una determinata quantità da una delle 2 parentesi, riesci ad ottenere un prodotto notevole ( che ti agevola i calcoli)

Come vedi nel mio esempio ti ho cambiato la 2° parentesi, altrimenti raccogliendo -4 non avrei fatto altro che incasinarmi i calcoli. ;)

[alessandroass]

Parlando del quadrato di trinomio, come si fa a capire come bisogna risolverlo se i segni sono messi sia negativi che positivi??

Esempio

[math](a-b-c)^2[/math]

[math](-a+b+b)^2[/math]

[math](a+b-c)^2[/math]

Bisogna ogni volta moltiplicarli normalmente come fossero dei polinomi o c'è qualche "trucco" che evita di fare tutte queste moltiplicazioni??

Grazie!!

[BIT5]

No.

Devi semplicemente considerare il prodotto dei segni.

Nello sviluppo hai:

[math] a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac [/math]

Se una quantita' e' negativa, dove questa quantita' ha esponente dispari mantiene il segno e dove ce l'ha pari diventa positiva.

quindi nel caso, ad esempio, di

[math] (a-b+c)^2 [/math]

Dove compare b con esponente dispari (ovvero in questo caso alla prima) il segno rimarra' negativo

e quindi

[math] a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac [/math]

Dove compare b alla prima il segno e' negativo.

Nel caso di

[math] (a-b-c)^2 [/math]

il prodotto (ab) sara' negativo (+ x -), il prodotto ac idem, il prodotto bc positivo (-x-)

quindi

[math] a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc [/math]

In fondo e' los tesso ragionamento che devi utilizzare per la potenza di un binomio (differenza)

Se ad esempio hai

[math] (a-b)^3 [/math]

Dove b ha esponente dispari, il segno sara' meno, quindi

[math] a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 [/math]

Spero di essere riuscito a spiegarmi.. :D

[alessandroass]

Quindi il risultato di questo sarà:

[math](-a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac[/math]

è corretto?

[BIT5]

esatto