Corde e parabole

[Marco881]

Ciao!

Quest'esercizio non l'ho proprio capito...

Dato il fascio di parabole y=ax²+(1-4a)x-(1-4a), determinare:
-la relazione che deve sussustere tra i parametri a1 e a2 di due parabole del fascio affinché intercettino corde congruenti sulla retta y=3-x. [a1+a2=0]


Grazie:)

[Camillo]

Considera 2 parabole del fascio, una con a1 come parametro e l'altra con a2 come parametro.
Poi metti a sistema :
(y=a1x^2+(1-4a1)x-(1-4a1)
)y= 3-x

risolvi il sistema e troverai le coordinate dei punti di intersezione e quindi la lunghezza del segmento intercettato (=corda), naturalmente in funzione di a1.
Fai lo stesso con la seconda parabola : sistema, risoluzione del sistema e quindi lunghezza della corda ( questa sarà espressa in funzione di a2).
Uguaglia le espressioni delle lunghezze delle due corde : otterrai una relazione tra a1 e a2 .
Auguri per i calcoli certo fastidiosi.
Camillo

[JvloIvk]

Risolvendo il sistema:
*)y=ax^2+(1-4a)x-(1-4a)
**)y= 3-x
per confronto si ottiene l'equazione:
ax²+2(1-2a)x-4-4a=0
il cui discriminante è constantemente uguale ad
uno:
D=1
Ma se chiamiamo x(1) e x(2) le 2 radici dell'equazione
allora:
|x(1)-x(2)|=sqrtD=1
Se poniamo x(1)>x(2)
allora
x(1)-x(2)=1
Dalla * si ricava:
y(1)=ax(1)²+(1-4a)x(1)-(1-4a)
y(2)=ax(2)²+(1-4a)x(2)-(1-4a)
ovvero
y(1)-y(2)=|a(x(1)²-x(2)²)+(1-4a)(x(1)-x(2))|
ma x(1)-x(2)=1 e x(1)+x(2)=[4a-1]/2a(per la nota formulax(1)+x(2)=B/A
e sostituendo:
y(1)-y(2)=|[4a-1]/2+1-4a|=|(1-4a)/2|
Se scegliamo su valori di a arbitrari a(1) e a(2) si ha:
|(1-4a(1))/2)|=|(1-4a(2)|-->a(1)+a(2)=0

[Camillo]

JvloIvk ha scritto :

ax²+2(1-2a)x-4-4a=0
il cui discriminante è constantemente uguale ad
uno:
D=1

a me non torna , il discriminante viene : 1+8a^2.

Camillo

[Marco881]

Vedro' di farlo...
Tnx;)

[JvloIvk]

Hai perfettamente ragione...mi ero dimenticato del -!