Corde di un triangolo

[Sk_Anonymous]

Tra tutte le corde di un triangolo dato,che
dividono il contorno di quest'ultimo in due spezzate
di eguale lunghezza,trovare quella minima.
La risoluzione analitica e' abbastanza agevole;
di quella sintetica non me ne sono occupato.
Chi vuole provare?
karl.

[MaMo2]

Io ho risolto il problema analiticamente.
Se a, b e c sono i lati del triangolo (con a > b > c) ho trovato la seguente lunghezza minima:

L = (a + b + c)*sqrt[(2ab + c^2 - a^2 - b^2)/(ab)]/4.

[Sk_Anonymous]

La corda minima e' quella da te trovata.
Aggiungo qualche considerazione supplementare.
Se C e' l'angolo opposto al lato c ( e quindi il minore
degli angoli),ricordando che cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b),la
corda minima si puo' anche scrivere (con qualche calcolo)cosi':
corda.min.=p*sqrt((1-cos(C))/2) (p=semiperimetro)
od anche:
corda.min.=p*sin(C/2).
Questo consente di dare la seguente interpretazione :
la corda minima e' interna all'angolo minore C ed individua
col vertice C un triangolo isoscele i cui lati obliqui
hanno misura=p/2 ovvero 1/4 del perimetro.
Resta aperta la risoluzione sintetica:mi ci sono applicato
per un po' ma non sono venuto a capo di niente.
Saluti da karl.