Coppie di serie

[Jack2331]

Potrebbero andare nella sezione analisi, ma penso che siano risolvibile anche senza strumenti analitici, quindi li posto qua .

1)Calcolare $lim_{n->\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$

2)Provare che la serie $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge.

[@melia]

"Jack233":Potrebbero andare nella sezione analisi, ma penso che sia risolvibile anche senza strumenti analitici, quindi lo posto qua .
1)Calcolare $lim_{n->\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$

diverge a $+oo$ perchè la somma dei termini compresi tra due successive potenze di 2 è maggiore di $1/2$,
cioè $1/(2^n +1)+1/(2^n+2)+...+1/(2^(n+1))>1/2$

[Gatto891]

"Jack233":

2)Provare che la serie $\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge.

Beh... è semplicemente una somma finita di valori reali


Invece nel caso generale:

$\sum_{n=1}^(\infty) \frac{1}{\sqrt{n}}$,

puoi vederlo come $(1/n)^(1/2)$ che altro non è che la serie armonica generalizzata che diverge...

[Jack2331]

Scusate mi correggo:

2)Provare che la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$ converge.

[Steven11]

"Jack233":Potrebbero andare nella sezione analisi, ma penso che siano risolvibile anche senza strumenti analitici, quindi li posto qua .
1)Calcolare $lim_{n->\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$

Senza strumenti analitici?
Peccato, ho già tirato fuori il cannone.




L'area del trapezio $ABDC$ (scusate le lettere) è ovviamente
$(AC+BD)/2*AB$ ovvero, riferendomi alla figura,

$(1/n+1/(n+1))/2$
E' banale vedere che il rettangolo ha area maggiore dell'area sottesa dall'iperbole.
Inoltre vale (passatemi l'abuso del simbolo di infinito)
$lim_(nto+oo)\int_(n_0)^(n)1/x "dx"=+oo$
e per quanto detto prima, la somma delle infinite aree sottese dalla curva è minore della somma degli infiniti trapezi, ovvero
$(1/n+1/(n+1))/2+(1/(n+1)+1/(n+2))/2+...>\quad\lim_(nto+oo)\int_(n_0)^(n)1/x "dx"$
ma il primo membro è maggiore di $1/(2n)$ rispetto a
$1/(n+1)+1/(n+2)+....$ e siccome quel primo membro tende ad infinito, anche l'ultima somma tenderà ad infinito.

[Jack2331]

"Steven":
E' banale vedere che il rettangolo ha area maggiore dell'area sottesa dall'iperbole.

Rettangolo? Quale rettangolo? Mi sono perso qualcosa?

Ah ecco, trapezio rettangolo!
Certo però se ti confondi tra trapezio e rettangolo [size=0]il trenta in geometria[/size]....
Va bene, idee per il secondo?

[Gatto891]

"Jack233":Scusate mi correggo:

2)Provare che la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{\sqrt{n}}}$ converge.

Ora ok

(Asintoticamente) $sqrtn > log_2(n^2) rarr 2^(sqrtn) > n^2 rarr 1/(2^(sqrtn)) < 1/(n^2)$ e la seconda converge (serie armonica generalizzata )

[Steven11]

"Jack233":
Rettangolo? Quale rettangolo? Mi sono perso qualcosa?
Ah ecco, trapezio rettangolo!
Certo però se ti confondi tra trapezio e rettangolo [size=0]il trenta in geometria[/size]....

Bravo, era tutto per vedere se connettevi. [size=0]anzi, mo' t'o dic, vedo che nemmeno un caino 27 ti mette fuori gioco...[/size]

[Jack2331]

"Steven":
Senza strumenti analitici?
Peccato, ho già tirato fuori il cannone.

[... lunga dimostrazione analitica con immagine ...]

e siccome quel primo membro tende ad infinito, anche l'ultima somma tenderà ad infinito.

"Gatto89":
Ora ok

[breve ed elegante dimostrazione analitica] e la seconda converge (serie armonica generalizzata )

Ma io avevo detto senza strumenti analitici, eh! (chi vuole capire capisca)

[Jack2331]

Un'altra per il primo:

1) $\frac{1}{3^n-k}+\frac{1}{3^n+k} > \frac{2}{3^k}$ (lascio la verifica banale) da cui $\frac{1}{3^n-3^{n-1}-1}+...+\frac{1}{3^n+3^{n-1}+1}>1$, e quindi la sommatoria va ad infinito.

Idee "carine" per il secondo?

Ciao