Coordinate polari di una semicirconferenza
Spero di aver aperto il topic nella sezione giusta. Ho pensato di aprirlo qui essendo un argomento di trigonometria.
Ho molte difficoltà nell'individuazione delle coordinate polari associate ad una semicirconferenza. Le incontro nel calcolo degli integrali doppi, quando posso passare da coordinate cartesiane a polari, non riesco a capire bene il raggio e l'angolo come e tra cosa varia.
Ad esempio, vorrei capire perchè in una semicirconferenza d'equazione $y = sqrt(2x - x^2)$ le coordinate polari di raggio e angolo variano tra $0$ e $2costheta$ e tra $0$ e $pi/2$.
Se ho sbagliato sezione chiedo scusa in anticipo!
Ho molte difficoltà nell'individuazione delle coordinate polari associate ad una semicirconferenza. Le incontro nel calcolo degli integrali doppi, quando posso passare da coordinate cartesiane a polari, non riesco a capire bene il raggio e l'angolo come e tra cosa varia.
Ad esempio, vorrei capire perchè in una semicirconferenza d'equazione $y = sqrt(2x - x^2)$ le coordinate polari di raggio e angolo variano tra $0$ e $2costheta$ e tra $0$ e $pi/2$.
Se ho sbagliato sezione chiedo scusa in anticipo!
Risposte
Disegna la semicirconferenza in un sistema di assi cartesiani e indica con O e P gli estremi del diametro.
Dall'origine O porta una retta che interseca la semicirconferenza, oltre che in O, anche in un secondo punto A.
$theta=hat(POA)$ mentre $r=bar(OA)$
$theta$ varia tra $0$, se $A-=P$, e $pi/2$, se $A-=O$, quindi $0<=theta<=pi/2$
mentre il segmento $bar(OA)$ vale $bar(OA)=bar(OP)cos theta=2 cos theta$ che, visto l'intervallo di variabilità di $theta$, varia tra $0$ e $2$.
Dall'origine O porta una retta che interseca la semicirconferenza, oltre che in O, anche in un secondo punto A.
$theta=hat(POA)$ mentre $r=bar(OA)$
$theta$ varia tra $0$, se $A-=P$, e $pi/2$, se $A-=O$, quindi $0<=theta<=pi/2$
mentre il segmento $bar(OA)$ vale $bar(OA)=bar(OP)cos theta=2 cos theta$ che, visto l'intervallo di variabilità di $theta$, varia tra $0$ e $2$.
Ciao,
osserviamo il seguente disegno:
L'angolo $theta$ può variare da $0$ (e individui il punto $A$) a $pi/2$ (e individui il punto $O$). Per quanto riguarda invece il raggio (cioè la distanza dall'origine) hai che il triangolo $OAP$ è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, quindi \(\overline{OP} = 2\cos\theta\).
osserviamo il seguente disegno:
L'angolo $theta$ può variare da $0$ (e individui il punto $A$) a $pi/2$ (e individui il punto $O$). Per quanto riguarda invece il raggio (cioè la distanza dall'origine) hai che il triangolo $OAP$ è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza, quindi \(\overline{OP} = 2\cos\theta\).
"@melia":
Disegna la semicirconferenza in un sistema di assi cartesiani e indica con O e P gli estremi del diametro.
Dall'origine O porta una retta che interseca la semicirconferenza, oltre che in O, anche in un secondo punto A.
$theta=hat(POA)$ mentre $r=bar(OA)$
$theta$ varia tra $0$, se $A-=P$, e $pi/2$, se $A-=O$, quindi $0<=theta<=pi/2$
mentre il segmento $bar(OA)$ vale $bar(OA)=bar(OP)cos theta=2 cos theta$ che, visto l'intervallo di variabilità di $theta$, varia tra $0$ e $2$.
Mi è chiaro tutto il discorso, tranne un passaggio. Perchè $bar(OP)cos theta=2 cos theta$ ?
Perché il triangolo OAP è rettangolo in P e il diametro della circonferenza misura 2, trigonometria: primo teorema sui triangoli rettangoli.
Ah ok, tutto chiaro. Grazie.
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