Convergenza serie con Leibniz

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto per lo studio della convergenza della seguente serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }cos(n\pi )\sqrt{1-cos\frac{1}{n}}[/math]

il professore ci ha detto che è una serie a termini alterni.
quindi bisogna applicare il criterio di Leibniz..

io però non ho capito come fare a capire che è a termini alterni e come applicare Leibniz..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Dovresti osservare che

[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]

[insule23]

e perchè devo osservare che

[math]\cos(n\pi)=(-1)^n[/math]

me lo potresti spiegare..
poi come continuo a svolgere la serie..
se mi potresti dare qualche spunto..
non riesco a proseguire
grazie..

[ciampax]

hai provato a vedere cosa viene quel coseno, per alcuni valori di

[math]n[/math]

? Quello basta a capire perché vale la relazione che ho scritto. Detto questo, la serie si può riscrivere come

[math]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n,\qquad a_n=\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}>0[/math]

che quindi è a termini di segno alterno e per la quale si può applicare Leibniz. Dovresti far vedere che

1)

[math]\lim_{x\to+\infty} a_n=0[/math]

(immediato)

2) [math]a_{n+1}

[insule23]

Allora abbiamo che:

1)

[math]\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}=\sqrt{1-1}=0[/math]

e

2)

[math]a_n>a_{n+1}[/math]

da cui sostituendo i relativi valori si ha:

[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}>\sqrt{1-\cos\frac{1}{n+1}}[/math]

elevando entrambi i membri al quadrato

[math]{1-\cos\frac{1}{n}}>{1-\cos\frac{1}{n+1}}[/math]

[math]{\cos\frac{1}{n+1}}{-\cos\frac{1}{n}}>0[/math]

è giusto???
ora però non riesco a continuare..
mi sono bloccata..
se mi potresti aiutare..
grazie..

[ciampax]

Il punto 1) è corretto. Per il punto 2) devi dimostrare che

[math]a_{n+1} n\ge 1[/math]

: allora ovviamente [math]0

[insule23]

Ok grazie...
Credo SEMPLICEMENTE CONVERGENTE..
e giusto altrimenti non saprei..
Grazie..

[ciampax]

Credi? Lo sai? lo hai dimostrato? Mah, io non capisco come vi rapportate allo studio universitario.

Cosa dovresti fare per capire se la serie è assolutamente convergente? Quale serie dovresti considerare? Che tipo di criterio potresti usare?

[insule23]

scusa ma non ho capito se è importante verificare se la serie converga assolutamente poichè il testo dell'esercizio non lo chiede..
se mi fai sapere poi come svolgere perchè ancora non l'abbiamo fatta..
grazie..

[ciampax]

Certo che è importante, ma come vi hanno insegnato ad affrontare le serie? Quando non hai a che fare con serie di segno costante, la prima cosa da fare e verificare l'assoluta convergenza! Quello che va studiato in questo caso è la serie dei valori assoluti, cioè questa

[math]\sum_{n=1}^\infty\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]

che è a termini positivi. Che criterio puoi usare per studiarla?

[insule23]

allora abbiamo che la quantità

[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]

è una quantità positiva, per cui

[math]\left | \sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}\right |=\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}[/math]

ora studiamo il carattere di quest'ultima..
possiamo applicare il criterio della radice
giusto??? e come faccio..
scusa ciampax ma non sto riuscendo a capire..
sto impazzendo..
se mi puoi aiutare completando questa serie..
grazie..

[ciampax]

Il criterio giusto da usare è quello del confronto asintotico. Dovresti sapere che

[math]1-\cos t\sim \frac{t^2}{2}[/math]

quando

[math]t\to 0[/math]

. Ora, per

[math]n\to+\infty\ \Rightarrow\ 1/n\t0 0[/math]

e pertanto

[math]\sqrt{1-\cos\frac{1}{n}}\sim\sqrt{\frac{1}{2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2} n}[/math]

Pertanto la serie proposta è asintoticamente equivalente a quella armonica, che non converge. La serie pertanto non converge assolutamente.