Convergenza serie

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto..
studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }n^{\frac{n}{2}}\left ( 1-cos\frac{1}{\sqrt{n}} \right )^{n}[/math]

abbiamo che la successione è a termini positivi..
la presenza dell'esponente

[math]n[/math]

ci induce a pensare al criterio della radice.

[math]a_{n}=n^{\frac{n}{2}}\left ( 1-cos\frac{1}{\sqrt{n}} \right )^{n}[/math]

[math]=\left [\frac{\left ( 1-cos\frac{1}{\sqrt{n}} \right )}{\frac{1}{\sqrt{n}}} \right ]^{n} [/math]

quindi calcoliamo il limite:

[math]\lim_{n \to +\infty }(\sqrt[n]{a_{n}})=[/math]

[math]=\lim_{n \to +\infty }\left [ \sqrt[n]{\left ( \frac{1-cos \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{x}}} \right )^{x}} \right ]=[/math]

[math]=\frac{1-cos\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=0[/math]

poichè il risutato è minore di 1, la serie converge per il criterio della radice...

è giusto..
fatemi sapere..
grazie..

[ciampax]

Corretto.

[insule23]

Ok grazie mille