Convergenza serie (187714)

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con la convergenza della seguente serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )[/math]

la serie è a termini positivi.
Consideriamo il temine generale e procediamo con il criterio del confronto e consideriamo la maggiorazione:

[math]2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )\leq \left | 2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right )\right | [/math]

[math]=2^{n}n^{3}e^{-n}\cdot \left |sin\left ( cos\, n\, arctan\sqrt{n} \right ) \right |[/math]

osservando che essendo il seno una funzione limitata tra -1 e 1
si ha:

[math]\leq 2^{n}n^{3}e^{-n}=\left ( \frac{2}{e} \right )^{n}n^{3}[/math]

quindi il criterio del confronto ci permette di concludere che la serie data e la serie

[math]\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{2}{e} \right )^{n}n^{3}[/math]

hanno lo stesso carattere..
Ora tale serie è a termini positivi e utilizzando il criterio del rapporto si ha:

[math]\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{e})^{n+1} (n+1)^{3}}{(\frac{2}{e})^{n} (n)^{3}}[/math]

è giusto??
come faccio a risolvere il limite e come posso concludere...
se mi potete aiutare..
grazie..

[Studente Anonimo]

Dunque, vogliamo studiare il carattere della seguente serie numerica:

[math]\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \; \; \; \; \; \; dove: \; a_n := \left(\frac{2}{e}\right)^n\,n^3\,\sin\left(\cos n \, \arctan\sqrt{n}\right) \; . \end{aligned}\\[/math]

Notando che

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} a_n = 0 \end{aligned}[/math]

, ossia che la successione

[math]a_n[/math]

è infinitesima, siamo
almeno certi che la condizione necessaria per la convergenza di tale serie è verificata.

Ora, trattandosi di una serie a termini di segno qualsiasi è naturale fare appello al
criterio di convergenza assoluta secondo il quale se una serie converge in valore
assoluto allora converge (in generale non vale il contrario). Quindi studiamo quest'altra
serie numerica:

[math]\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_n\right| \; . \end{aligned}\\[/math]

A questo punto, trattandosi di una serie a termini di segno non negativo possiamo
applicare, ad esempio, il criterio del confronto (o di Gauss). In particolare, si ha

[math]\begin{aligned} \left|a_n\right| \le \left(\frac{2}{e}\right)^n\,n^3 \; .\end{aligned}\\[/math]

Semplificata in maniera consistente l'espressione da studiare è il momento
dell'attacco decisivo: l'applicazione del criterio del rapporto (o di d'Alembert).
Nello specifico, si ha quanto segue:

[math]\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{e}\frac{n^3}{(n + 1)^3} = \frac{2}{e} < 1 \end{aligned}\\[/math]

da cui si deduce che la serie in esame converge. :)