Convergenza di una serie
Buonasera a tutti!
Dovrei verificare che la serie: $\sum_{k=1}^(+oo) (1/(n^2+4n))$ converge e dovrei calcolarne la somma.
Si tratta di uno dei primi esercizi sulle serie che mi trovo a risolvere. In questo caso, si tratta di una serie telescopica? Calcolando le somme parziali non ne sto venendo a capo.
Ringrazio anticipatamente coloro che mi aiuteranno a comprendere il quesito.
Andrea
Dovrei verificare che la serie: $\sum_{k=1}^(+oo) (1/(n^2+4n))$ converge e dovrei calcolarne la somma.
Si tratta di uno dei primi esercizi sulle serie che mi trovo a risolvere. In questo caso, si tratta di una serie telescopica? Calcolando le somme parziali non ne sto venendo a capo.
Ringrazio anticipatamente coloro che mi aiuteranno a comprendere il quesito.
Andrea
Risposte
Considera la successione $a_n= 1/(n^2+4n)$, utilizza il metodo dei fratti semplici ed otterrai: $a_n= (1/4) (1/n-1/(n+4))$. Perciò la serie si scrive come:
$\sum_{n=1}^\infty a_n= (1/4)\sum_{n=1}^\infty (1/n-1/(n+4))$.
A questo punto io ho tabulato $\sum_{n=1}^k(1/n-1/(n+4))$, con $k=13$ e mi son reso conto che gli unici addendi rimasti sono $1,1/2,1/3,1/4$ mentre tutti gli altri si elidono con i loro opposti.
Dunque avrai che $\sum_{n=1}^\infty a_n= (1/4)(1+1/2+1/3+1/4) = 25/48$ che è la somma della serie.
$\sum_{n=1}^\infty a_n= (1/4)\sum_{n=1}^\infty (1/n-1/(n+4))$.
A questo punto io ho tabulato $\sum_{n=1}^k(1/n-1/(n+4))$, con $k=13$ e mi son reso conto che gli unici addendi rimasti sono $1,1/2,1/3,1/4$ mentre tutti gli altri si elidono con i loro opposti.
Dunque avrai che $\sum_{n=1}^\infty a_n= (1/4)(1+1/2+1/3+1/4) = 25/48$ che è la somma della serie.
Ok. Tutto chiaro. Anche io avevo scomposto in fratti semplici la frazione che rappresenta il termine n-esimo della successione; e ciò era possibile per il Teorema di Hermite. Ero rimasto perplesso, per il fatto che non si elidevano i termini; mentre, scritta esplicitamente la somma mi rendo conto che la maggior parte degli addendi si elidono (eccetto quelli da te indicati)!
Ti ringrazio per il tempestivo ed efficace aiuto!
Andrea
Ti ringrazio per il tempestivo ed efficace aiuto!
Andrea
Prego 
Mi togli una curiosità? In quale liceo fanno le serie?Io mi ricordo che al mio liceo arrivammo a malapena alle derivate con i logaritmi
Mi togli una curiosità? In quale liceo fanno le serie?Io mi ricordo che al mio liceo arrivammo a malapena alle derivate con i logaritmi
Io ho frequentato il Liceo Scientifico Brocca (più forte del P.N.I.) e siamo arrivati sino alle equazioni differenziali di primo ordine. Le serie le abbiamo solo accennate (trattando sommariamente i criteri di convergenza). Ora accingendomi ad entrare nel mondo della Matematica, sto facendo qualche esercizio più impegnativo (anche se alla fin fine sono veramente banali questi)!
Per la cronaca, gli esercizi sulle serie (quello che ho proposto ora ed altri, che sicuramente proporrò in seguito!), sono tratti da testi per le Scuole Superiori e come tali, non dovrebbero essere traumatizzanti; ma sicuramente chiederò il vostro aiuto perchè non mi limiterò a fare quelli banali!!
Per la cronaca, gli esercizi sulle serie (quello che ho proposto ora ed altri, che sicuramente proporrò in seguito!), sono tratti da testi per le Scuole Superiori e come tali, non dovrebbero essere traumatizzanti; ma sicuramente chiederò il vostro aiuto perchè non mi limiterò a fare quelli banali!!
Grazie mille
Grazie a te!
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