Controllo esercizio d'esame...

Fai una domanda Tutte le categorie

11 giu 2007, 14:55

problema 2 maturità 2004 PNI

sia data la funzione $f(x)=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)+x$ con $a,b\inRR_0$

1. dimostrare che, comunque presi a e b, esisete sempre un valore per cui $f(x)=(a+b)/2
2. studiare la funzione prendendo $a=2b=2$
3. per il primo punto x>0 in cui la derivata prima si annulla, fornire un valore approssimato di $f'(x)=0$

allora è come ho fatto il punto 1 che ho qualche dubbio
1. io ho detto: se esiste un punto in cui $f(x)=(a+b)/2$ allora l'equazione $(a+b)/2=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)+x$ deve ammettere almeno una radice reale.

riscriviamo l'equazione in questo modo $sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)=(a+b)/2-x$
chiamiamo $omega(x)=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)$ e $gamma(x)=(a+b)/2-x$

notiamo che $D_gamma=RR$ e $D_omega=RR$, mentre $C_gamma=RR$ e $C_omega=[M,m]$ in quanto è una fz periodica di periodo 4b, allora $C_gamma\supeC_omega$ (dove $C_*$ indica il codominio della funzione e $D_*$ indica il dominio della funzione) quindi $gammannomega$, quindi l'equazione $(a+b)/2=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)+x$ ammette radici reali.

è giusto il ragionamento?

Risposte

cozzataddeo

11 giu 2007, 13:23

Considerate le due funzioni

$f(x)=e^x$
$g(x) = x-10$

entrambe hanno come dominio $RR$ mentre per i codomini si ha $C_(f)=RR^+$ e $C_(g)=RR$ perciò $C_(g) \supe C_f$ eppure l'equazione

$f(x)=g(x)$

non ha nessuna soluzione reale, come si osserva tracciando i grafici delle due funzioni.
Quindi il tuo ragionamento, purtroppo, non è corretto...

Non mollare!

fu^2

11 giu 2007, 14:05

cavolo, giusto, non basta dire quello che ho detto per dimostrare che esiste la radice...

allora consideriamo di nuovo la nostra equazione $0=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)+x-(a+b)/2$

e chiamiamo g(x) la seguente funzione

$g(x)=sin(pi/ax)cos(pi/(2b)x)+x-(a+b)/2$
notiamo che la funzione è continua e derivabile in tutto il suo dominio.
consideriamo l'intervallo [a,b]

$g(a)=a-a/2-b/2=(a-b)/2
$g(b)=b-a/2-b/2=(b-a)/2

considerando $a!=b$ (in quanto se a=b, si sono trovati già due zeri della fuznione) vediamo che
se $a>b$ allora $g(a)>0$ e $g(b)<0$
se $a0$

quindi agli estremi dell'intervallo [a,b] la funzione assume valori opposti $AA_(a,b)\inRR_0$, quindi per il teorema degli zeri (prorpietà di darbou) esiste almeno un $X_0\in[a,b]$ tc $g(x_0)=0$

ora va meglio?