Controllo derivata
Salve.. rieccomi xD
Allora sia data la funzione $y=xsqrt(4-1/x^2)sqrt(1-2x/(2x+1))$ ... Ora derivando a me viene $1/sqrt[(4x^2-1)(2x+1)]$ mentre sul libro porta $1/sqrt(2x-1)$ ho sbagliato qualche passaggio o si può ancora semplificare ? ho provato in tutti i modi xD ma mi viene sempre lo stesso... please help me ^^
Allora sia data la funzione $y=xsqrt(4-1/x^2)sqrt(1-2x/(2x+1))$ ... Ora derivando a me viene $1/sqrt[(4x^2-1)(2x+1)]$ mentre sul libro porta $1/sqrt(2x-1)$ ho sbagliato qualche passaggio o si può ancora semplificare ? ho provato in tutti i modi xD ma mi viene sempre lo stesso... please help me ^^
Risposte
a volevo chiedervi un altra cosa che mi è venuta in mente: è giusto "semplificare" e poi fare la derivata? mi spiego meglio riprendendo la funzione di prima si può prima moltiplicare trasformandola in $sqrt((4x^2-1)/(2x+1))$ eppoi fare la derivata ? che sarebbe per l'appunto $1/sqrt((4x^2-1)(2x+1))$
"V3rgil":
a volevo chiedervi un altra cosa che mi è venuta in mente: è giusto "semplificare" e poi fare la derivata? mi spiego meglio riprendendo la funzione di prima si può prima moltiplicare trasformandola in $sqrt((4x^2-1)/(2x+1))$ eppoi fare la derivata ? che sarebbe per l'appunto $1/sqrt((4x^2-1)(2x+1))$
no, in generale potresti cambiare l'andamento della funzione....
un pò come $y=(x-1)/(x^2-1)$ sarebbe un errore "gravissimo" semplificare e poi studiarla, in quanto se la semplifichi ti perdi ad esempio che non è definita in x=1...
bene grazie 
pensavo anche io la stessa cosa solo che non ne ero sicuro dato che sul libro alcune derivate del tipo log in base x di 5 te lo fa prima trasformare in un quoziente $log5/logx$ e poi ti fa fare la derivata in questo caso è giusto poiché il dominio rimane cmq invariato no?
pensavo anche io la stessa cosa solo che non ne ero sicuro dato che sul libro alcune derivate del tipo log in base x di 5 te lo fa prima trasformare in un quoziente $log5/logx$ e poi ti fa fare la derivata in questo caso è giusto poiché il dominio rimane cmq invariato no?
"V3rgil":
a volevo chiedervi un altra cosa che mi è venuta in mente: è giusto "semplificare" e poi fare la derivata? mi spiego meglio riprendendo la funzione di prima si può prima moltiplicare trasformandola in $sqrt((4x^2-1)/(2x+1))$ eppoi fare la derivata ? che sarebbe per l'appunto $1/sqrt((4x^2-1)(2x+1))$
ti suggerisco che:
$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$
e già xD non l'avevo proprio notato ora riprovo a risolverla si vede che sono stato via per più di una settimana... in vacanza xD... ma quindi è giusto semplificare nella derivata poiché andando a semplificare ulteriormente verrebbe $y=sqrt(2x-1)$ la cui derivata è esattamente $1/sqrt(2x-1)$ è quindi un caso oppure si può per le derivate?
allora vi faccio tutti i passaggi cosi ...
$sqrt(4-1/x^2)sqrt(1-2x/(2x+1))+1/[sqrt(4-1/x^2)(x^2)(sqrt(2x+1))]-x(sqrt(4-1/x^2))1/sqrt(1-2x/(2x+1))1/(2x+1)^2$
$=sqrt((2x-1)/x^2)+1/sqrt((x^2)(4x^2-1)(2x+1))-xsqrt(2x-1)/sqrt((x^2)(2x+1)^2)$
Ora andando a fare il minimo comune multiplo viene
$=[sqrt(((2x-1)^2)(2x+1)^2)+1-xsqrt((2x-1)^2)]/sqrt((x^2)((2x+1)^2)(2x-1))$
Ora mi è venuto il dubbio xD (ebbene si xD oggi sono dubbioso xD) è giusto eliminare le radici senza mettere il valore assoluto ovvero $sqrt(x^2)=x$ e non $sqrt(x^2)=|x|$ poiché senza valore assoluto mi verrebbe... ma con il valore assoluto non mi viene o cmq non so proseguire...
$sqrt(4-1/x^2)sqrt(1-2x/(2x+1))+1/[sqrt(4-1/x^2)(x^2)(sqrt(2x+1))]-x(sqrt(4-1/x^2))1/sqrt(1-2x/(2x+1))1/(2x+1)^2$
$=sqrt((2x-1)/x^2)+1/sqrt((x^2)(4x^2-1)(2x+1))-xsqrt(2x-1)/sqrt((x^2)(2x+1)^2)$
Ora andando a fare il minimo comune multiplo viene
$=[sqrt(((2x-1)^2)(2x+1)^2)+1-xsqrt((2x-1)^2)]/sqrt((x^2)((2x+1)^2)(2x-1))$
Ora mi è venuto il dubbio xD (ebbene si xD oggi sono dubbioso xD) è giusto eliminare le radici senza mettere il valore assoluto ovvero $sqrt(x^2)=x$ e non $sqrt(x^2)=|x|$ poiché senza valore assoluto mi verrebbe... ma con il valore assoluto non mi viene o cmq non so proseguire...
vedete se il mio ragionamento è corretto... essendo il dominio x>1/2 risulterà che tutti i valori assoluti presenti sono positivi e quindi risulta possibile eliminarli e procedere normalmente... che dite ho detto qualche stupidaggine oppure ho ragionato correttamente? xD
"fu^2":
[quote="V3rgil"]a volevo chiedervi un altra cosa che mi è venuta in mente: è giusto "semplificare" e poi fare la derivata? mi spiego meglio riprendendo la funzione di prima si può prima moltiplicare trasformandola in $sqrt((4x^2-1)/(2x+1))$ eppoi fare la derivata ? che sarebbe per l'appunto $1/sqrt((4x^2-1)(2x+1))$
no, in generale potresti cambiare l'andamento della funzione....
un pò come $y=(x-1)/(x^2-1)$ sarebbe un errore "gravissimo" semplificare e poi studiarla, in quanto se la semplifichi ti perdi ad esempio che non è definita in x=1...[/quote]
Molto probabilmente sto per sparare na gran min****ta, ma non sono d'accordo...almeno non del tutto. Se si suegue questa linea di ragionamente allora è sbagliato anche risolvere le equazioni fratte così come solitamente le risolviamo: possiamo vedere i membri delle equazioni come funzioni polinomiali e porci il problema di quando queste funzioni incontrano l'asse delle ascisse; quando le risolviamo noi svolgiamo dei conti e alla fine ci riduciamo a una funzione costante: $x=c$ ove $x$ è la variabile e $c$ è (di solito) un reale. Anche in questo caso correremmo il rischio, secondo quanto detto da fu^2 di modificare gli andamenti delle funzioni...lo facciamo, ma in quelle parti dell'asse reale orizzontale ove non vengono rispettati i principi di equivalenza. Sugli intervalli reali delle ascisse che verificano i principi di equivalenza le funzioni corrispondono.
Tutto questo per dire cosa: se moltiplichi tutta quella roba alla fine ottiei una espressioni che usata come assegnazionione su $RR$ ti porta a scegliere un dominio "naturale" ovviamente diverso da quello della roba iniziale; ma sei hai la pazienza di portarti appresso il dominio iniziale nulla cambia, poiché, se rispetti i principi di equivalenza nel corso della semplificazioni, quello che ottieni all'inizio te lo ritrovi alla fine, a meno di valori che alterino i principi suddetti.
Morale: $f(x)=x * \sqrt{4 - \frac{1}{x^2}} * \sqrt{1 - 2 * \frac{x}{2x + 1}} = \sqrt{x^2 * (4 - \frac{1}{x^2}) * (1 - 2*\frac{x}{2x + 1})}=\sqrt{(4x^2 - 1)*\frac{1}{2x + 1}}=\sqrt{(2x+1)*(2x-1)*\frac{1}{2x+1}}=\sqrt{2x-1}$ a patto di fissare $dom(\phi(x)=\sqrt{2x - 1})=dom(f(x))$. In questa ipotesi, le derivate coincidono, perché sono le derivate della stessa funzione: $f'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{2x-1}}*2=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$.
P.S.
Il tutto a meno di probabilissime ca***te.
"WiZaRd":
[quote="fu^2"][quote="V3rgil"]a volevo chiedervi un altra cosa che mi è venuta in mente: è giusto "semplificare" e poi fare la derivata? mi spiego meglio riprendendo la funzione di prima si può prima moltiplicare trasformandola in $sqrt((4x^2-1)/(2x+1))$ eppoi fare la derivata ? che sarebbe per l'appunto $1/sqrt((4x^2-1)(2x+1))$
no, in generale potresti cambiare l'andamento della funzione....
un pò come $y=(x-1)/(x^2-1)$ sarebbe un errore "gravissimo" semplificare e poi studiarla, in quanto se la semplifichi ti perdi ad esempio che non è definita in x=1...[/quote]
Molto probabilmente sto per sparare na gran min****ta, ma non sono d'accordo...almeno non del tutto. Se si suegue questa linea di ragionamente allora è sbagliato anche risolvere le equazioni fratte così come solitamente le risolviamo: possiamo vedere i membri delle equazioni come funzioni polinomiali e porci il problema di quando queste funzioni incontrano l'asse delle ascisse; quando le risolviamo noi svolgiamo dei conti e alla fine ci riduciamo a una funzione costante: $x=c$ ove $x$ è la variabile e $c$ è (di solito) un reale. Anche in questo caso correremmo il rischio, secondo quanto detto da fu^2 di modificare gli andamenti delle funzioni...lo facciamo, ma in quelle parti dell'asse reale orizzontale ove non vengono rispettati i principi di equivalenza. Sugli intervalli reali delle ascisse che verificano i principi di equivalenza le funzioni corrispondono.
Tutto questo per dire cosa: se moltiplichi tutta quella roba alla fine ottiei una espressioni che usata come assegnazionione su $RR$ ti porta a scegliere un dominio "naturale" ovviamente diverso da quello della roba iniziale; ma sei hai la pazienza di portarti appresso il dominio iniziale nulla cambia, poiché, se rispetti i principi di equivalenza nel corso della semplificazioni, quello che ottieni all'inizio te lo ritrovi alla fine, a meno di valori che alterino i principi suddetti.
Morale: $f(x)=x * \sqrt{4 - \frac{1}{x^2}} * \sqrt{1 - 2 * \frac{x}{2x + 1}} = \sqrt{x^2 * (4 - \frac{1}{x^2}) * (1 - 2*\frac{x}{2x + 1})}=\sqrt{(4x^2 - 1)*\frac{1}{2x + 1}}=\sqrt{(2x+1)*(2x-1)*\frac{1}{2x+1}}=\sqrt{2x-1}$ a patto di fissare $dom(\phi(x)=\sqrt{2x - 1})=dom(f(x))$. In questa ipotesi, le derivate coincidono, perché sono le derivate della stessa funzione: $f'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{2x-1}}*2=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$.
P.S.
Il tutto a meno di probabilissime ca***te.[/quote]
Mi trovo d'accordo con il tuo ragionamento
a meno come dicevi di ca**ate di qualcosa che mi sfugga...
Io non ho capito bene dove sarebbe il problema con le equazioni fratte.
Inoltre lo scopo nostro sarebbe quello di scovare le intersezioni delle due funzioni, non le intersezioni di essere con l'asse delle ascisse.
Quanto alla modificazione delle funzioni, forse ti riferisci al moltiplicare per il $mcm$: in tal caso ricordiamo che è infatti obbligatorio porre le condizioni.
Inoltre lo scopo nostro sarebbe quello di scovare le intersezioni delle due funzioni, non le intersezioni di essere con l'asse delle ascisse.
Quanto alla modificazione delle funzioni, forse ti riferisci al moltiplicare per il $mcm$: in tal caso ricordiamo che è infatti obbligatorio porre le condizioni.
Non ho ben capito che intendi puoi fare un esempio?
Ps. XD sta ancora il ragionamento fatto sulla derivata e a sua risoluzione con il valore assoluto... se qualcuno può dirmi se ho fatto bene o meno...
Ps. XD sta ancora il ragionamento fatto sulla derivata e a sua risoluzione con il valore assoluto... se qualcuno può dirmi se ho fatto bene o meno...
mentre risolvi n'equazione è giusto limarla il più possibile semplificandola, ma quando devi strutturare qualcosa in cui c'entra il campo d'esistenza, allora non puoi modificare la funzione iniziale semplificando in quanto anche se non modifichi l'andamento della funzione, modifichi il suo campo di esistenza che in un equazione puoi semplificare dopo aver posto le condizioni inziali, anche la derivata la puoi semplificare dopo che l'hai calcolata alla fine, ma all'inizio devi avercela burbera per vedere con chiarezza dov'è che la funzione è derivabile o meno...
è una sottile differenza, non trovi?
è una sottile differenza, non trovi?
@ Steven
Ho pensato ad una equazione scritta in forma normale del tipo $P(x)=0$, per questo ho parlato di intersezioni con l'asse delle ascisse. Mi riferivo proprio al $m.c.m$ e alle restrizioni che si fanno per poterlo usare. In questo caso la restrizione non modifica il dominio dell'equazione perché è il dominio stesso la restrizione.
@fu^2
Quando in una equazione stabilisci le condizioni iniziali non fai altro che stabilire il dominio della funzione associata all'equazione in questione, andando a definire il dominio della funzione associata all'equazione come $A - B$, dove $A$ è l'insieme nel quale cerchi le soluzioni e $B$ è l'insieme dei valori che l'incognita non può assumere. Fatto ciò semplifichi l'espressione e alla fine ottieni dei risultati e vai a vedere se questi sono elementi di $A - B$, cioè ti preoccupi di vedere se limiando l'espressione hai anche limato o ingrandito i domini, ma ciò che conta è che l'intersezione dei domini (chiamati C.E. con le equazioni, almeno a me così me li han fatti chimare per cinque anni, puntualizzando anche ci voleva l'articolo "il" - la prof. mi piazzò errore rosso quando ci misi "il") sia il dominio di quella iniziale, per modo che hai sicuramente i valori che verificano quella di partenza e al più ne hai di altri che non ti servono, ma non ti sei perso niente; ad esempio quando risolvi le goniometriche con le formule parametriche il dominio dell'equazione finale è ristretto rispetto a quella iniziale quindi vai a vedere "a mano" se ti è sfuggito qualche cosa.
E' esattamente la stessa cosa che accade ad una funzione: parti dall'espressione di una funzione e ne stabilisci il dominio; la semplifichi e ottieni una nuova espressione: se questa semplificazione ti porta a una funzione che ha un dominio "naturale" che include quello della funzione iniziale allora hai ottenuto un prolungamento della funzione, perché i principi di equivalenza ti assicurando che fino a quando lavori con valori ammissibili in entrambe le espressioni il risultato è lo stesso, dopo non lo sappiamo; se ottieni una funzione con un dominio "naturale" che incluso nel dominio iniziale allora ottieni una restrizione della funzione iniziale, sempre in virtù dei principi di equivalenza.
Ma la cosa importante è che in $dom(f) \cap dom(g)$, dove $g$ è la nuova funzione, si ha che $f(a)=g(a)$: questa è la stessa cosa che sta alla base della soluzione delle equazioni.
Il problema poi nel caso proposto da V3rgil non si pone: il dominio della funzione inizile basta a garantire il rispetto dei principi di equivalenza e la funzione associata all'espressione finale ha lo stesso dominio "naturale" di quella iniziale.
Non so se sono riuscito a rendere quello che in modo molto contorto sto pensando. Resto in attesa di tue correzioni o puntualizzazioni.
Ho pensato ad una equazione scritta in forma normale del tipo $P(x)=0$, per questo ho parlato di intersezioni con l'asse delle ascisse. Mi riferivo proprio al $m.c.m$ e alle restrizioni che si fanno per poterlo usare. In questo caso la restrizione non modifica il dominio dell'equazione perché è il dominio stesso la restrizione.
@fu^2
Quando in una equazione stabilisci le condizioni iniziali non fai altro che stabilire il dominio della funzione associata all'equazione in questione, andando a definire il dominio della funzione associata all'equazione come $A - B$, dove $A$ è l'insieme nel quale cerchi le soluzioni e $B$ è l'insieme dei valori che l'incognita non può assumere. Fatto ciò semplifichi l'espressione e alla fine ottieni dei risultati e vai a vedere se questi sono elementi di $A - B$, cioè ti preoccupi di vedere se limiando l'espressione hai anche limato o ingrandito i domini, ma ciò che conta è che l'intersezione dei domini (chiamati C.E. con le equazioni, almeno a me così me li han fatti chimare per cinque anni, puntualizzando anche ci voleva l'articolo "il" - la prof. mi piazzò errore rosso quando ci misi "il") sia il dominio di quella iniziale, per modo che hai sicuramente i valori che verificano quella di partenza e al più ne hai di altri che non ti servono, ma non ti sei perso niente; ad esempio quando risolvi le goniometriche con le formule parametriche il dominio dell'equazione finale è ristretto rispetto a quella iniziale quindi vai a vedere "a mano" se ti è sfuggito qualche cosa.
E' esattamente la stessa cosa che accade ad una funzione: parti dall'espressione di una funzione e ne stabilisci il dominio; la semplifichi e ottieni una nuova espressione: se questa semplificazione ti porta a una funzione che ha un dominio "naturale" che include quello della funzione iniziale allora hai ottenuto un prolungamento della funzione, perché i principi di equivalenza ti assicurando che fino a quando lavori con valori ammissibili in entrambe le espressioni il risultato è lo stesso, dopo non lo sappiamo; se ottieni una funzione con un dominio "naturale" che incluso nel dominio iniziale allora ottieni una restrizione della funzione iniziale, sempre in virtù dei principi di equivalenza.
Ma la cosa importante è che in $dom(f) \cap dom(g)$, dove $g$ è la nuova funzione, si ha che $f(a)=g(a)$: questa è la stessa cosa che sta alla base della soluzione delle equazioni.
Il problema poi nel caso proposto da V3rgil non si pone: il dominio della funzione inizile basta a garantire il rispetto dei principi di equivalenza e la funzione associata all'espressione finale ha lo stesso dominio "naturale" di quella iniziale.
Non so se sono riuscito a rendere quello che in modo molto contorto sto pensando. Resto in attesa di tue correzioni o puntualizzazioni.
sarebbe in pratica: $y=log_(x)5$ per calcolare la derivata di questa funzione bisogna per forza semplificarla in $y=log5/logx$... e se ciò ne cambiasse l'andamento non sarebbe possibile... ma l'andamento della funzione non è alterato perché le due hanno lo stesso dominio...
Lo so che sono noiso ma permettetemi ancora una notazione: i principi di equivalenza cui mi riferivo sono quelle regole che trasformano una intera espressione in una ad essa equivalente, non i principi di equivalenza delle uguaglianze.
fu^2, forse era questa la differenza tra le nostre risposte che volevi farmi notare?
@V3ergil
Non conosco modi di derivare un logaritmo con variabile alla base, quindi ti dico di sì; ma aspettiamo anche il parere di fu^2 e di tutti gli altri del forum.
fu^2, forse era questa la differenza tra le nostre risposte che volevi farmi notare?
@V3ergil
Non conosco modi di derivare un logaritmo con variabile alla base, quindi ti dico di sì; ma aspettiamo anche il parere di fu^2 e di tutti gli altri del forum.
Io volevo semplicemente far notare questo perché cmq è proprio il libro che mi fa attuare questa semplificazione negli esercizi di quel tipo... cmq aspettiamo gli altri
"WiZaRd":
Lo so che sono noiso ma permettetemi ancora una notazione: i principi di equivalenza cui mi riferivo sono quelle regole che trasformano una intera espressione in una ad essa equivalente, non i principi di equivalenza delle uguaglianze.
fu^2, forse era questa la differenza tra le nostre risposte che volevi farmi notare?
@V3ergil
Non conosco modi di derivare un logaritmo con variabile alla base, quindi ti dico di sì; ma aspettiamo anche il parere di fu^2 e di tutti gli altri del forum.
@V3ergil
si il log lo puoi cambiare così in quanto non modifica il campo di esistenza... è quello che ho cercato di dire in tutto il post...
@Wizard ho capito a grandi lineee quello che hai detto (nel senso che ho dato una veloce lettura perchè ora dv usire tra poco, lo rileggerò meglio questa sera)
te puoi semplificare, ma cambi il campo di esistenza e quindi l'insieme di punti in cui puoi derivare e quello in cui puoi nn derivare.
esempio $y=(x-1)^2/(x-1)$
quindi $y'=(2(x-1)(x-1)-(x-1)^2)/(x-1)^2=(x-1)^2/(x-1)^2
ora in x=1 anche se è punto di derivabilità, la funzione non esiste.
quindi dopo che hai posto anche l'esistenza della derivata puoi semplificare selvaggiamente, in quanto per fare i calcoli è la stessa cosa.
se uno è un pò lesto potrebbe ricordarsi del dominio, ma poi tirarselo dietro quando fa tutti i conti.
con la funzione non modificata nel suo campo di esistenza non si ha questo problema
capite la differenza su quello che sto dicendo?
Si credo di aver capito qual è la differenza di cui parlavi, però $x=1$ non è di derivabilità per $y=((x-1)^2)/(x-1)$.
Nel frattanto però... xD posso eliminare le radici e i quadrati eliminando anch eil valore assoluto derivante poiché cmq il campo di esistenza sarebbe x>1/2 e quindi tutti i valori assoluti risulterebbero positivi?
In poche parole
$=[sqrt(((2x-1)^2)(2x+1)^2)+1-xsqrt((2x-1)^2)]/sqrt((x^2)((2x+1)^2)(2x-1))=$
$=[|(2x-1)(2x+1)|+1-x|(2x-1)|]/|(x)(2x+1)(2x-1)|=$
E' giusto il passaggio successivo? Cioè è giusto eliminare i valori assoluti poiché il dominio risulta $x>1/2$ e quindi sarebbero tutti positivi? xD
$=[(2x-1)(2x+1)+1-x(2x-1)]/((x)(2x+1)(2x-1))$
Scusate se sono ridondante nelle domande... ma ho pensato che l'argomento fosse stato scavalcato dall'altro discorso... xD
In poche parole
$=[sqrt(((2x-1)^2)(2x+1)^2)+1-xsqrt((2x-1)^2)]/sqrt((x^2)((2x+1)^2)(2x-1))=$
$=[|(2x-1)(2x+1)|+1-x|(2x-1)|]/|(x)(2x+1)(2x-1)|=$
E' giusto il passaggio successivo? Cioè è giusto eliminare i valori assoluti poiché il dominio risulta $x>1/2$ e quindi sarebbero tutti positivi? xD
$=[(2x-1)(2x+1)+1-x(2x-1)]/((x)(2x+1)(2x-1))$
Scusate se sono ridondante nelle domande... ma ho pensato che l'argomento fosse stato scavalcato dall'altro discorso... xD
@Wizard
ovvio
@V3rgil
si, essendo il campo di esistenza x>1/2 la funzione è definita da $f:RR->RR^+$ quindi i valori assoluti son inutili da tenere, in quanto è tutto sempre positivo dentro il valore assoluto.
ovvio
@V3rgil
si, essendo il campo di esistenza x>1/2 la funzione è definita da $f:RR->RR^+$ quindi i valori assoluti son inutili da tenere, in quanto è tutto sempre positivo dentro il valore assoluto.
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