Controllate il ragionamento.. :D
Volevo il vostro aiuto per vedere se è valido il mio ragionamento usato per dimostrare il teorema di Weierstrass
Tesi: Sia $f:DsubeRR->RR$ e sia $f(x)$ continua in $[a,b]$, allora in $[a,b]$ la $f(x)$ assumerà ALMENO un MAX. ed un min. che chiameremo rispettivamente $M$ ed $m$
Dimostrazione:
Condizione di funzione continua nel punto $c$ generico
${(1. lim_(xtoc^+)f(x)=lim_(xtoc^-)f(x)),(2. lim_(xtoc)=f(c)):}$
scegliamo $c = (a+b)/2$ e consideriamo $[c-Deltax,c+Deltax]$ scegliendo $Deltax$ in modo che l'intorno sia sempre un sottoinsieme IMPROPRIO di $[a,b]$ allora ad ogni intorno $[c-Deltax,c+Deltax]$ corrisponderà un intorno del tipo $[l-epsi,l+epsi]$ che sarà SEMPRE sottoinsieme IMPROPRIO di $[m,M]$
questo fatto è garantito da come è stato costruito l'operatore limite che tendendo a valori reali, restituisce valori reali, infatti ricordando che
$lim_(xtocinRR)f(x)=linRR => AAepsi>0, EEDeltax : AAx in(c-Deltax,c+Deltax) => f(x) in (l-epsi,l+epsi)$
allora l'epsilon ad un certo punto raggiungerà un valore tale che coinciderà con il massimo e il minimo relativo (infatti ho posto che la $epsi$ e il $Deltax$ debbano assumere valori tali da far rimanere sottoinsiemi impropri gli intorni delle ascisse e delle ordinate rispettivamente di $[a,b]$ e $[m,M]$)
c.v.d.
Sono stato abbastanza degno per mettere c.v.d. in calce alla mia dimostrazione?
Rispondete grazie..
Mega-X
Tesi: Sia $f:DsubeRR->RR$ e sia $f(x)$ continua in $[a,b]$, allora in $[a,b]$ la $f(x)$ assumerà ALMENO un MAX. ed un min. che chiameremo rispettivamente $M$ ed $m$
Dimostrazione:
Condizione di funzione continua nel punto $c$ generico
${(1. lim_(xtoc^+)f(x)=lim_(xtoc^-)f(x)),(2. lim_(xtoc)=f(c)):}$
scegliamo $c = (a+b)/2$ e consideriamo $[c-Deltax,c+Deltax]$ scegliendo $Deltax$ in modo che l'intorno sia sempre un sottoinsieme IMPROPRIO di $[a,b]$ allora ad ogni intorno $[c-Deltax,c+Deltax]$ corrisponderà un intorno del tipo $[l-epsi,l+epsi]$ che sarà SEMPRE sottoinsieme IMPROPRIO di $[m,M]$
questo fatto è garantito da come è stato costruito l'operatore limite che tendendo a valori reali, restituisce valori reali, infatti ricordando che
$lim_(xtocinRR)f(x)=linRR => AAepsi>0, EEDeltax : AAx in(c-Deltax,c+Deltax) => f(x) in (l-epsi,l+epsi)$
allora l'epsilon ad un certo punto raggiungerà un valore tale che coinciderà con il massimo e il minimo relativo (infatti ho posto che la $epsi$ e il $Deltax$ debbano assumere valori tali da far rimanere sottoinsiemi impropri gli intorni delle ascisse e delle ordinate rispettivamente di $[a,b]$ e $[m,M]$)
c.v.d.
Sono stato abbastanza degno per mettere c.v.d. in calce alla mia dimostrazione?
Rispondete grazie..
Mega-X
Risposte
Per il punto 1) devi dimostrare che M e m esistono, come fai ad assumere che siano uguali prima di dimostrare che esistono?
Nel punto 2) non capisco cosa tu intenda per "sottoinsieme improprio"... [a,b] è un intervallo enon un insieme, anche se può essere definito per via insiemistica, ma a parte questa piccola osservazione che significa sotto intervallo improprio?
Nel punto 2) non capisco cosa tu intenda per "sottoinsieme improprio"... [a,b] è un intervallo enon un insieme, anche se può essere definito per via insiemistica, ma a parte questa piccola osservazione che significa sotto intervallo improprio?
ogni volta che sbaglio farò l'edit del mio post evitando di fare dei nuovi post, altrimenti non si capirà nulla
quindi ora farò l'edit del post
P.S. : $[a,b]$ è un insieme di punti (che è l'equivalente di intervallo) quindi si può anche definire un sottoinsieme di punti (che è l'equivalente di sottointervallo)
quindi ora farò l'edit del post
P.S. : $[a,b]$ è un insieme di punti (che è l'equivalente di intervallo) quindi si può anche definire un sottoinsieme di punti (che è l'equivalente di sottointervallo)
ma loooooooollissimo..
il teorema è di facile dimostrazione:
Noi abbiamo supposto $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b]$, per il teorema di bolzano ( https://www.matematicamente.it/analisi/teor_bolz.html )
ad $[a,b]$ dovrà corrispondere un intervallo del tipo $[m,M]$ i cui estremi inferiore e superiore sono rispettivamente il minimo e il massimo cercati
c.v.d.
Ora mi accingerò a dimostrare il teorema di Bolzano
Tesi: se $f(x)$ è continua in $[a,b]$ allora $f([a,b])$ è un intervallo
Come al solito controllate i miei ragionamenti perchè è mio interesse migliorare il mio metodo matematico
Grazie ancora una volta per aver corretto i miei errori (in questo caso grazie a giusepperoma)
Mega-X
il teorema è di facile dimostrazione:
Noi abbiamo supposto $f(x)$ continua in un intervallo $[a,b]$, per il teorema di bolzano ( https://www.matematicamente.it/analisi/teor_bolz.html )
ad $[a,b]$ dovrà corrispondere un intervallo del tipo $[m,M]$ i cui estremi inferiore e superiore sono rispettivamente il minimo e il massimo cercati
c.v.d.
Ora mi accingerò a dimostrare il teorema di Bolzano
Tesi: se $f(x)$ è continua in $[a,b]$ allora $f([a,b])$ è un intervallo
Come al solito controllate i miei ragionamenti perchè è mio interesse migliorare il mio metodo matematico
Grazie ancora una volta per aver corretto i miei errori (in questo caso grazie a giusepperoma)
Mega-X
"Giusepperoma":
Nel punto 2) non capisco cosa tu intenda per "sottoinsieme improprio"... [a,b] è un intervallo enon un insieme, anche se può essere definito per via insiemistica, ma a parte questa piccola osservazione che significa sotto intervallo improprio?
ok ho detto una cazzata (ci voleva questo tipo di espressione..
)un intervallo di punti non ha nulla a che vedere con insieme di punti perché un intervallo di punti e l'insieme di TUTTI i punti da $a$ a $b$
mentre un insieme di punti non è detto che contenga tutti i punti da $a$ a $b$, può avere anche dei buchi
esempio: un dominio è un insieme di punti e non un intervallo..
giusto?
P.S. : Sto ancora lavorando al teorema di Bolzano..
ok ho trovato la dimostrazione..
Tesi: sia $f(x)$ continua nell'intervallo $[a,b]$ allora $f([a,b])$ sarà un intervallo
Dimostrazione:
consideriamo un punto arbitrario $c in [a,b]$ e un suo intorno $[c, c+Deltax]$ e supponiamo la $f(x)$ crescente in tale intorno, e $Deltax$ scelto in modo che l'intorno considerato sia sottoinsieme di $[a,b]$
e consideriamo inoltre la seguente scrittura:$ f(c+Deltax)$ tale scrittura si può scrivere come $f(c)+Deltaf$
ora è ovvio che se facciamo variare $Deltax$ varierà anche $Deltaf$ (in questo caso cresce perchè noi abbiamo supposto la funzione crescente nell'intorno $[c,c+Deltax]$)
è anche ovvio che la $f(x)$ assumerà valori contigui rispetto a $f(c)$ e per la definizione di intervallo reale (insieme di tutti i numeri reali compresi fra estremo inferiore ed estremo superiore) allora risulta dimostrato che $f([a,b])$ è un intervallo
un ragionamento analogo si fa per un intorno del tipo $[c-Deltax,c]$ e\o se la funzione risulta decrescente in tale intorno
C.V.D.
Sono stato abbastanza meritevole da mettere C.V.D. in calce alla mia dimostrazione?
Rispondete per favore..
Tesi: sia $f(x)$ continua nell'intervallo $[a,b]$ allora $f([a,b])$ sarà un intervallo
Dimostrazione:
consideriamo un punto arbitrario $c in [a,b]$ e un suo intorno $[c, c+Deltax]$ e supponiamo la $f(x)$ crescente in tale intorno, e $Deltax$ scelto in modo che l'intorno considerato sia sottoinsieme di $[a,b]$
e consideriamo inoltre la seguente scrittura:$ f(c+Deltax)$ tale scrittura si può scrivere come $f(c)+Deltaf$
ora è ovvio che se facciamo variare $Deltax$ varierà anche $Deltaf$ (in questo caso cresce perchè noi abbiamo supposto la funzione crescente nell'intorno $[c,c+Deltax]$)
è anche ovvio che la $f(x)$ assumerà valori contigui rispetto a $f(c)$ e per la definizione di intervallo reale (insieme di tutti i numeri reali compresi fra estremo inferiore ed estremo superiore) allora risulta dimostrato che $f([a,b])$ è un intervallo
un ragionamento analogo si fa per un intorno del tipo $[c-Deltax,c]$ e\o se la funzione risulta decrescente in tale intorno
C.V.D.
Sono stato abbastanza meritevole da mettere C.V.D. in calce alla mia dimostrazione?
Rispondete per favore..
allora chi controlla il mio ragionamento?
secondo me è un ragionamento valido, però voglio l'opnione di un qualche esperto nel campo della matematica quindi datemi la vostra opnione per favore..
secondo me è un ragionamento valido, però voglio l'opnione di un qualche esperto nel campo della matematica quindi datemi la vostra opnione per favore..
"Mega-X":
ok ho trovato la dimostrazione..
Tesi: sia $f(x)$ continua nell'intervallo $[a,b]$ allora $f([a,b])$ sarà un intervallo
Dimostrazione:
consideriamo un punto arbitrario $c in [a,b]$ e un suo intorno $[c, c+Deltax]$ e supponiamo la $f(x)$ crescente in tale intorno, e $Deltax$ scelto in modo che l'intorno considerato sia sottoinsieme IMPROPRIO di $[a,b]$
e consideriamo inoltre il seguente limite:$ f(c+Deltax)$ tale scrittura si può scrivere come $(c)+Deltaf$
ora è ovvio che se facciamo variare $Deltax$ varierà anche $Deltaf$ (in questo caso cresce perchè noi abbiamo supposto la funzione crescente nell'intorno $[c,c+Deltax]$)
è anche ovvio che la $f(x)$ assumerà valori contigui rispetto a $f(c)$ e per la definizione di intervallo reale (insieme di tutti i numeri reali compresi fra estremo inferiore ed estremo superiore) allora risulta dimostrato che $f([a,b])$ è un intervallo
un ragionamento analogo si fa per un intorno del tipo $[c-Deltax,c]$ e\o se la funzione risulta decrescente in tale intorno
C.V.D.
Sono stato abbastanza meritevole da mettere C.V.D. in calce alla mia dimostrazione?
Rispondete per favore..
non ho proprio le conoscenze per valutare, ma non ho trovato niente di illogico...però mi sembra un pò strano, tutte e due si potrebbero riassumere in: al variare di $Deltax$, varia anche $f(Deltax)$, fino a che entrambi raggiungeranno il punto max o min dell'intervallo.
-nota: tu parli di un punto generico c su AB, perchè parli di sottoinsieme improprio se consideri solo l'intorno destro? (anche se alla fine lo specifichi)
errore mio, ho editato..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo