Continuità funzioni derivabili

[Sorriso91]

Rileggendo gli appunti di matematica di dicembre mi sono accorta che c'è qualcosa che non mi convince nella dimostrazione del teorema secondo cui se un funzione è derivabile in un punto allora in quel punto è anche continua. Posto la dimostrazione che ci ha fornito la prof:

sia $y=f(x)$ la nostra generica funzione.

$f$ è derivabile in $x_0$ se $ lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x)$

ed è continua nel suddetto punto solo se $ lim_(x->x_0) f(x)-f(x_0)=0$
ora
$ lim_(x->x_0) f(x)-f(x_0)=lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)(x-x_0) $
che per $x$ che tende ad $x_0$ dà cetamente zero.

Come ho già detto a me non convince più di tanto..ma forse è solo un problema che mi sono posta inutilmente..voi pensate sia corretta?

[Nicole931]

mancherebbe solo una precisazione, che probabilmente il tuo professore ha detto a voce

il $lim_(x->x_0)((f(x)-f(x_0))/(x-x_0))$ certamente esiste ed è un numero finito in quanto la funzione è derivabile in $x_0$, quindi moltiplicando per zero un numero finito avremo sicuramente zero come risultato

[Sorriso91]

Grazie mille Nicole..no, non l'ha detto..credo l'abbia dato per scontato..ma non era questo che mi creava dei dubbi..comunque ora ho risolto il problema..grazie ancora!!