Continuità e discontinuità
Salve gente.
Vi scrivo per chiedervi un piccolo aiuto.
Sto portando all'esame di maturità le funzioni continue e discontinue di prima, seconda e terza specie. Il problema è che alcuni passaggi non mi sono chiarissimi. Allora innanzitutto premetto che noi facciamo una matematica basilare, infatti quest'anno come studio di funzioni, nonostante abbiamo affrontato le funzioni irrazionali e logaritmiche, nel programma ci sono solo le funzioni razionali. Durante l'anno ci siamo esercitati a fare esercizi, trovando il campo di esistenza, gli asintoti, la derivata prima e la derivata seconda. Il tema della continuità, non lo abbiamo affrontato benissimo, perchè ci siamo basati molto sugli esercizi. Comunque nella definizione di continuità, ho trovato :
Una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b], è CONTINUA nel punto x=c (interno all’intervallo), se risulta:
lim(con x->c) f(x)= f(c)
in pratica una funzione continua in un punto quando si verificano contemporaneamente 3 condizioni:
1) esiste f(c) ;
2) esiste il limite l ed è finito della funzione per x->c (lim (x->c-) f(x)= lim (x->c+) f(x)=l );
3) il limite l coincide con (valore della funzione nel punto c)
Vediamo se ho capito ed è giusto il mio ragionamento facendo un esempio...
Ho una funzione razionale e per trovare il campo di esistenza, il denominatore deve essere diverso da 0. Una volta trovati i valori per i quali la funzione non esiste, significa che non è continua perchè in quei punti non esiste e quindi c'è un salto? Che cosa si intende quando si dice è continua se: lim(con x->c) f(x)= f(c) ? Significa che se faccio il limite con x che tende al valore per il quale la funzione non esiste, il risultato deve essere il numero a cui tendo la x?
Grazie in anticipo, comunque non entrate troppo nei dettagli perchè ripeto che abbiamo fatto una matematica basilare, voglio capire i concetti base, magari anche con qualche esempio. Grazie tante ! : - )
Vi scrivo per chiedervi un piccolo aiuto.
Sto portando all'esame di maturità le funzioni continue e discontinue di prima, seconda e terza specie. Il problema è che alcuni passaggi non mi sono chiarissimi. Allora innanzitutto premetto che noi facciamo una matematica basilare, infatti quest'anno come studio di funzioni, nonostante abbiamo affrontato le funzioni irrazionali e logaritmiche, nel programma ci sono solo le funzioni razionali. Durante l'anno ci siamo esercitati a fare esercizi, trovando il campo di esistenza, gli asintoti, la derivata prima e la derivata seconda. Il tema della continuità, non lo abbiamo affrontato benissimo, perchè ci siamo basati molto sugli esercizi. Comunque nella definizione di continuità, ho trovato :
Una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b], è CONTINUA nel punto x=c (interno all’intervallo), se risulta:
lim(con x->c) f(x)= f(c)
in pratica una funzione continua in un punto quando si verificano contemporaneamente 3 condizioni:
1) esiste f(c) ;
2) esiste il limite l ed è finito della funzione per x->c (lim (x->c-) f(x)= lim (x->c+) f(x)=l );
3) il limite l coincide con (valore della funzione nel punto c)
Vediamo se ho capito ed è giusto il mio ragionamento facendo un esempio...
Ho una funzione razionale e per trovare il campo di esistenza, il denominatore deve essere diverso da 0. Una volta trovati i valori per i quali la funzione non esiste, significa che non è continua perchè in quei punti non esiste e quindi c'è un salto? Che cosa si intende quando si dice è continua se: lim(con x->c) f(x)= f(c) ? Significa che se faccio il limite con x che tende al valore per il quale la funzione non esiste, il risultato deve essere il numero a cui tendo la x?
Grazie in anticipo, comunque non entrate troppo nei dettagli perchè ripeto che abbiamo fatto una matematica basilare, voglio capire i concetti base, magari anche con qualche esempio. Grazie tante ! : - )
Risposte
Purtroppo a scuola si usa ancora un approccio ottocentesco riguardo alla continuità e alla discontinuità delle funzioni, ed è ora di svecchiarlo. La cosa giusta funziona così, per le funzioni razionali: se tu hai una funzione razionale, essa è continua nel suo dominio, non ha punti di discontinuità, perché i punti che, eventualmente, annullano il denominatore non stanno nel dominio, e se la funzione non è definita in un punto non ha senso chiedersi se essa è ivi continua o no.
Quindi una funzione razionale è continua? Allora, facendo un esempio, quali funzioni sono discontinue? Che rapporto c'è quindi tra campo di esistenza e continuità ? Grazie tante per l'aiuto !!
Ad esempio, la funzione $f: \mathbb R \to \mathbb R$ data da $f(x)=0$ per $x\le 0$ e $f(x)=1$ per $x>0$ non è continua in $x=0$, e ivi presenta un punto di salto. Necessariamente un punto di discontinuità deve essere nel dominio, come anche un punto di continuità ovviamente, ma attenzione al fatto che spesso a scuola non si tende a fare così, ma si tende a parlare di discontinuità (di qualche specie per altro) anche in punti fuori dal dominio.
"Luca.Lussardi":
spesso a scuola non si tende a fare così, ma si tende a parlare di discontinuità (di qualche specie per altro) anche in punti fuori dal dominio.
Ciao,
in effetti è vero ed è capitato anche a me di sentire queste "interpretazioni".
Ad esempio su Wikipedia riporta correttamente "In matematica, in particolare in analisi, si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali f un punto appartenente al dominio di f nel quale la funzione non risulti continua". Ma poi, parlando delle discontinuità di seconda specie, dice "Taluni definiscono "punto di discontinuità di seconda specie" anche un punto che non appartiene al dominio della funzione, ma che ne è di accumulazione" e fa l'esempio dello $0$ per la funzione $1/x$. Poi, parlando della discontinuità di terza specie, riporta "Vi sono alcuni che definiscono un punto "di discontinuità eliminabile" anche quando non appartiene al dominio della funzione, ma è di accumulazione per la funzione, e attorno al quale la funzione assuma limite finito e uguale da sinistra e destra" e un esempio banale potrebbe essere \[\begin{cases}x, & x < 0 \\ x, & x > 0\end{cases}\] cioè la bisettrice del primo-terzo quadrante con un "buco" nell'origine.
Purtroppo è un residuo dell'analisi dell'ottocento quando il neonato concetto di continuità non calzava ancora alla perfezione con la teoria degli insiemi, ancora poco formalizzata.
Capisco. Grazie delle precisazioni!
Ok adesso è più chiaro ... Vediamo se ho capito in parole povere: la continuità o discontinuità è da ricercare nei punti del dominio, calcolando i limiti per i punti del dominio. Un'ultima cosa, non ho capito cosa si intende quando si dice "per vedere se una funzione è continua bisogna che il lim (con x->c) f(x) = f(c). Significa che se tendo la x al punto che ho trovato nel dominio, la funzione per essere continua deve risultare lo stesso valore es: lim (con x->3) f(x) = 3? Grazie tante!
No perché a secondo membro non deve esserci $c$ ma $f(c)$. Nel tuo esempio deve essere
$lim_(x->3)f(x)=f(3)$
e questo vale per tutte le funzioni razionali in cui il denominatore non si annulla per $x=3$.
Colgo l'occasione per invitarti ad usare il compilatore di formule (c'è un rimando alla guida nel riquadro rosa in alto e può anche esserti utile usare il tasto CITA per vedere cosa hanno digitato gli altri). Ti sarà obbligatorio solo dopo 30 messaggi ma è senz'altro consigliabile scrivere bene le formule fin da subito.
$lim_(x->3)f(x)=f(3)$
e questo vale per tutte le funzioni razionali in cui il denominatore non si annulla per $x=3$.
Colgo l'occasione per invitarti ad usare il compilatore di formule (c'è un rimando alla guida nel riquadro rosa in alto e può anche esserti utile usare il tasto CITA per vedere cosa hanno digitato gli altri). Ti sarà obbligatorio solo dopo 30 messaggi ma è senz'altro consigliabile scrivere bene le formule fin da subito.
E cosa cambia tra c e f(c)? Puoi farmi un esempio semplice?
Esempio: se $f(x)=x+4$ e $c=3$, allora $f(c)=f(3)=3+4=7$. La funzione è continua perché
$lim_(x->3)f(x)=7$
$lim_(x->3)f(x)=7$
Ok... Grazie mille a tutti, avete risolto i miei problemi in tempi brevi, con pazienza e con estrema chiarezza. Grazie ancora !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo