Continuità e derivabilità di una funzione

[Be_CiccioMsn]

Buonasera non riesco a concludere questo esercizio: verifica la continuità e derivabilità della seguente funzione:

f(x)=$|x^2+3x|$ ,

prima di tutto sdoppio il modulo quindi esce che :
f(x)=$x^2+3x$ se $x>=-3$ $x<=0$, quindi ora calcolo il $lim_(x->-3) f(x)$ che mi esce =f(-3),quindi è continua e faccio la stessa cosa con zero si verifica la stessa condizione quindi è continua.

f(x)=$-x^2-3x$ se -3
Il mio problema ora è verificare la derivabilità però non calcolandola con il limite del rapporto inccrementale.

f'(x)= 2x+3 se $x>=-3$ $x<=0$
f'(x)=-2x-3 se -3

come faccio per vedere se è derivabile o no?


grazie dell'aiuto

[Sk_Anonymous]

Puoi fare il limite sinistro e destro della derivata per $x = -3$ e per $x = 0$. Puoi facilmente verificare che i due limiti sono diversi, si parla di punto angoloso. Dovresti correggere alcune disequazioni, sono manifestamente sbagliate.

[Be_CiccioMsn]

ma i due limit sono diversi intendi che limite destro e sinistro di -3 sono diversi? si ho capito dove dici $x<=-3$ e $x>=0$

[Sk_Anonymous]

Sono diversi i due limiti della derivata, destro e sinistro, sia per $xto-3$ che per $xto0$. Devi stare sempre attento quando hai un valore assoluto: i valori di $x$ che ne annullano l'argomento sono spesso punti di non derivabilità.

[Be_CiccioMsn]

non mi escono diversi:faccio $lim_(x->-3^+)$ 2x+3=-3 $lim_(x->-3^-)$ 2x+3=-3 poi $lim_(x->-3^+)$ -2x-3=-3 $lim_(x->-3^-)$ -2x-3=-3

[Sk_Anonymous]

Per forza, stai prendendo, a sinistra e a destra, sempre lo stesso caso.

[Be_CiccioMsn]

e puoi espormeli tu, così capisco?

[Sk_Anonymous]

Per esempio, quando $xto0^-$ $f'(x) = -2x -3$, quando $xto0^+$ $f'(x) = 2x + 3$.

[Be_CiccioMsn]

faccio $lim_(x→-3^+) 2x+3=-3 $ $lim_(x→0^-) 2x+3=3 $ $lim_(x→-3^+) -2x-3=+3 $ $lim_(x→0^-) -2x-3=-3 $ ora affinche sia derivabile i rpimi due devono essere uguali e 3 e 4 anch'essi uguali. oppure devono essere tutti e 4 con lo stesso risultato?

[Sk_Anonymous]

Non si capisce bene quello che hai scritto. In ogni modo, per avere derivabilità in 0 devono essere uguali i limiti sinistro e destro in 0, per avere
derivabilità in -3 devono essere uguali i limiti sinistro e destro in -3.

[Be_CiccioMsn]

ma il limite destro in -3 si ha per 2x+3 mentre quello sinistro per -2x-3; e limite destro in 0 per -2x-3 e quello sinistro per 2x+3?

[Sk_Anonymous]

Quando $xto-3^-$ oppure $xto0^+$ si ha $f(x) = x^2 + 3x$ perchè l'argomento del valore assoluto è positivo.
Quando $xto-3^+$ oppure $xto0^-$ si ha $f(x) = -x^2 - 3x$ perchè l'argomento del valore assoluto è negativo.
Con la derivata ti regoli di conseguenza.

[Be_CiccioMsn]

grazie,poi sono riuscito a farlo