Continuità e derivabilità
Per quali valori di a la funzione
$a(ln(2ax+a^2))/(a-|ax^2-1|)$
1)è continua?
2)e per quali è derivabile
3)Potete spiegarmi quando in geneale uan funzione è continua in un intervallo e invece quando è derivabile... Le defionizioni credo di saperle, ma in pratica ke bisogna fare? Mica ci si può mettere a fare limite destro e sinistro per ogni punto dell'intervallo no?
La funzione l'ho inventata io sul momento...quindi se nn va bene la potete sostituire con un'altra
$a(ln(2ax+a^2))/(a-|ax^2-1|)$
1)è continua?
2)e per quali è derivabile
3)Potete spiegarmi quando in geneale uan funzione è continua in un intervallo e invece quando è derivabile... Le defionizioni credo di saperle, ma in pratica ke bisogna fare? Mica ci si può mettere a fare limite destro e sinistro per ogni punto dell'intervallo no?
La funzione l'ho inventata io sul momento...quindi se nn va bene la potete sostituire con un'altra
Risposte
Premetto che di analisi ne so abbastanza poco,quindi se qualcuno vuole smentire le fesserie che sto scivendo è liberissimo di farlo...
Inanzitutto devi capire dove la funzione è definita. Se $0 -a^2/2 ;x\ne \pm sqrt((1+a)/a), x\ne \pm sqrt((1-a)/a)$
Non ha senso chiedrsi se una funzione è continua o discontinua dove non è definita.Quindi devi vedere se è continua solo nel suo dominio.
Una funzione è continua un intervallo aperto $]a,b[ in D_f$se è continua in ogni punto di quell'insieme.
Si vede subito che la funzione è continua negli itervalli $ -a^2/2
Due funzioni $f$ e $g$ sono contunue nell'intervallo aperto U,allora:
$f \pm g$ è contunua in U
$fg$ è continua in U
$f/g$ è continua in U (ad eccezione dei valori che rendono nullo $g$)
$f \circ g$ è continua in U (dove $img(f) \subseteq Dom(g)$)
img sta per immagine e $\circ$ per composizione di funzioni.
Detto questo puoi dimostare che tutta quella roba là è continua in quegli intervalli perchè lo sono $2ax+a^2$;$lnx$;$a-|ax^2-1|$.
---
Una funzione è derivabile dove la sua derivata esiste. Ti calcoli la derivata e calcoli il suo dominio.
Se ti può interessare esiste un teorema che dice una funzione derivabile nell'intervallo $[a,b]$ è anche continua in quell'insieme.Non vale il viceversa!
Inanzitutto devi capire dove la funzione è definita. Se $0
Non ha senso chiedrsi se una funzione è continua o discontinua dove non è definita.Quindi devi vedere se è continua solo nel suo dominio.
Una funzione è continua un intervallo aperto $]a,b[ in D_f$se è continua in ogni punto di quell'insieme.
Si vede subito che la funzione è continua negli itervalli $ -a^2/2
Due funzioni $f$ e $g$ sono contunue nell'intervallo aperto U,allora:
$f \pm g$ è contunua in U
$fg$ è continua in U
$f/g$ è continua in U (ad eccezione dei valori che rendono nullo $g$)
$f \circ g$ è continua in U (dove $img(f) \subseteq Dom(g)$)
img sta per immagine e $\circ$ per composizione di funzioni.
Detto questo puoi dimostare che tutta quella roba là è continua in quegli intervalli perchè lo sono $2ax+a^2$;$lnx$;$a-|ax^2-1|$.
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Una funzione è derivabile dove la sua derivata esiste. Ti calcoli la derivata e calcoli il suo dominio.
Se ti può interessare esiste un teorema che dice una funzione derivabile nell'intervallo $[a,b]$ è anche continua in quell'insieme.Non vale il viceversa!
Vediamo se hai capito...Dov'è continua la funzione $f(x)=sqrtx$?
"JvloIvk":
Vediamo se hai capito...Dov'è continua la funzione $f(x)=sqrtx$?
E dove è derivabile la funzione : $ y = sqrt(|x|) ? $
vediamo..
$sqrt(x)$ è sefinita per ogni valore reale positivo incluso lo 0. Ed è derivabile su tutto il dominio.
La seconda è definita e continua per ogni valore di x, ma la in 0 non è derivabile, xkè per 0 da destra e da sinistra la derivata cambia segno. E' giusto?
$sqrt(x)$ è sefinita per ogni valore reale positivo incluso lo 0. Ed è derivabile su tutto il dominio.
La seconda è definita e continua per ogni valore di x, ma la in 0 non è derivabile, xkè per 0 da destra e da sinistra la derivata cambia segno. E' giusto?
Non è derivabile in 0.
Fabio
Fabio
Entrambe le funzioni non sono derivabili in zero, ma per motivi differenti:
Nel primo caso: $f'(\sqrt(x))=1/{2\sqrtx}$ che non è definita nello 0 infatti, ma si ha che:
$\lim_{x\to0^+}1/{2\sqrtx}=+\infty$.
Mentre: $f'(\sqrt|x|)=x/{2|x|\sqrt|x|}=>lim_{x\to0^{\pm}}x/{2|x|\sqrt|x|}=\pminfty$
Nel primo caso: $f'(\sqrt(x))=1/{2\sqrtx}$ che non è definita nello 0 infatti, ma si ha che:
$\lim_{x\to0^+}1/{2\sqrtx}=+\infty$.
Mentre: $f'(\sqrt|x|)=x/{2|x|\sqrt|x|}=>lim_{x\to0^{\pm}}x/{2|x|\sqrt|x|}=\pminfty$
Matematicoestinto che la funzione $y=sqrtx$ è definita per $x>=0$ va bene,ma ancora non mi hai detto dov'è contunua.
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