Continuità derivata= derivabilità funzione?
Se una derivata è continua... allora la funzione di partenza è derivabile?
Risposte
@afovidius:
non ho capito...Tu hai una derivata, continua in un dato intervallo e vuoi sapere se la funzione "di partenza" (primitiva) è derivabile?
Ogni funzione continua in un intervallo I ammette una primitiva in I (più di una, a meno di una costante).
Oppure vuoi sapere se una funzione continua è derivabile?
Nel secondo caso pensa alla funzione modulo di x che è continua in x=0, ma non è derivabile in questo punto.
non ho capito...Tu hai una derivata, continua in un dato intervallo e vuoi sapere se la funzione "di partenza" (primitiva) è derivabile?
Ogni funzione continua in un intervallo I ammette una primitiva in I (più di una, a meno di una costante).
Oppure vuoi sapere se una funzione continua è derivabile?
Nel secondo caso pensa alla funzione modulo di x che è continua in x=0, ma non è derivabile in questo punto.
il problema come lo hai formulato tu è:
abbiamo $f(x)$ definita in un certo intervallo $I$, sappiamo che $f'(x)$ è continua in $I$.
allora ci chiediamo se esiste $f'(x)$ messo così è abbastanza chiaro:
se tu puoi fare un'affermazione sulla funzione $f'(x)$, ovvero che è continua, certo che lei deve esistere, mica puoi dire che una funziona è continua senza che questa esista, non avrebbe alcun senso.
abbiamo $f(x)$ definita in un certo intervallo $I$, sappiamo che $f'(x)$ è continua in $I$.
allora ci chiediamo se esiste $f'(x)$ messo così è abbastanza chiaro:
se tu puoi fare un'affermazione sulla funzione $f'(x)$, ovvero che è continua, certo che lei deve esistere, mica puoi dire che una funziona è continua senza che questa esista, non avrebbe alcun senso.
Secondo me non è così semplice.
Supponiamo di avere una funzione $f' : [a,b] -> RR$.
Se $f'$ è una funzione continua, $f$ non è derivabile negli estremi dell'intervallo.
Supponiamo di avere una funzione $f' : [a,b] -> RR$.
Se $f'$ è una funzione continua, $f$ non è derivabile negli estremi dell'intervallo.
"Seneca":
Secondo me non è così semplice.
Supponiamo di avere una funzione $f' : [a,b] -> RR$.
Se $f'$ è una funzione continua, $f$ non è derivabile negli estremi dell'intervallo.
ti stai confondendo, ripensaci.
Credo che la domanda di afovidius fosse un'altra...
Se ho capito bene lui sta chiedendo se la derivabilità di una funzione dipende dalla continuità della sua derivata.
Se la domanda è questa la risposta è sì.
Nei punti di discontinuità della derivata se la funzione primitiva è continua si avranno punti angolosi o cuspidi, ovvero punti in cui $f(x)$ è continua ma non derivabile.
Se ho capito bene lui sta chiedendo se la derivabilità di una funzione dipende dalla continuità della sua derivata.
Se la domanda è questa la risposta è sì.
Nei punti di discontinuità della derivata se la funzione primitiva è continua si avranno punti angolosi o cuspidi, ovvero punti in cui $f(x)$ è continua ma non derivabile.
Titania ciò che dici è falso, fai lo stesso errore di Seneca.
non è vero che affinchè una funzione sia derivabile è necessario che la derivata sia continua.
non è vero che affinchè una funzione sia derivabile è necessario che la derivata sia continua.
"blackbishop13":
Titania ciò che dici è falso, fai lo stesso errore di Seneca.
Ok ti credo
Allora però cos'è che mi determina la derivabilità di una funzione?
(Non era farina del mio sacco, mi era stato spiegato così... Questo spiega perchè i risultati della classe si discostavano così tanto da quelli del libro
)
come cosa determina la derivabililità??
non te lo hanno spiegato? mi sembra strano, come hai definito le derivate?
non te lo hanno spiegato? mi sembra strano, come hai definito le derivate?
Se la derivata c'è, significa che la funzione iniziale, da cui essa è scaturita, doveva essere derivabile.
Ma non è che sia molto chiara la richiesta.
Ma non è che sia molto chiara la richiesta.
Lascia perdere, niente ti sembrerebbe strano se assistessi ad una delle lezioni di matematica (se così si possono chiamare) che tocca sopportare a me.
In ogni caso, la derivata l'ho definita come limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale.
Mi hanno detto che una funzione, perchè sia derivabile in un punto, deve innanzitutto essere continua in quel punto, e poi derivata destra e sinistra devono coincidere.
Almeno questo è corretto?
In ogni caso, la derivata l'ho definita come limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale.
Mi hanno detto che una funzione, perchè sia derivabile in un punto, deve innanzitutto essere continua in quel punto, e poi derivata destra e sinistra devono coincidere.
Almeno questo è corretto?
io direi più in generale che affinchè esista la derivata deve esistere il limite del rapporto incrementale.
tutto qui, non parlerei di derivate destre o sinistre se ancora non so se la funzione è derivabile in un punto.
poi il fatto che la funzione deve essere continua per essere derivabile, quello è correttissimo.
tutto qui, non parlerei di derivate destre o sinistre se ancora non so se la funzione è derivabile in un punto.
poi il fatto che la funzione deve essere continua per essere derivabile, quello è correttissimo.
Ok perfetto, per stabilire se una funzione è derivabile verifico la definizione... Più ovvio di così! 
Ultima domanda: supponiamo che la funzione derivata non sia definita in tutto $RR$. Nei punti esclusi dal campo di esistenza della derivata, la funzione di partenza non sarà derivabile, giusto? E' corretto però quello che dicevo prima, ovvero che questi sono punti particolari, in cui la funzione non è derivabile, e in cui presenta punti angolosi o cuspidi?
Ovviamente hai tutta la mia gratitudine per la pazienza
Ultima domanda: supponiamo che la funzione derivata non sia definita in tutto $RR$. Nei punti esclusi dal campo di esistenza della derivata, la funzione di partenza non sarà derivabile, giusto? E' corretto però quello che dicevo prima, ovvero che questi sono punti particolari, in cui la funzione non è derivabile, e in cui presenta punti angolosi o cuspidi?
Ovviamente hai tutta la mia gratitudine per la pazienza
ci vuole una precisione maggiore:
innanzitutto non devi parlare di punti di $RR$ in cui la derivata non esiste, ma di punti del dominio di $f$ in cui $f'$ esiste o meno.
distinguiamo i seguenti punti:
1. punti in cui $f$ non è definita (e quindi non è nemmeno derivabile).
2. punti in cui $f$ è definita, ma non è continua (e quindi non è derivabile).
3. punti in cui $f$ è definita e continua, ma non derivabile.
4. punti in cui $f$ è derivabile (e quindi anche continua).
i punti 1 sono poco interessanti, i punti 2 sono di discontinuità dovresti conoscere i tipi di discontinuità, i punti 4 sono derivabili, quindi sono "a posto".
i punti 3 di cui mi chiedi sono quelli più interessanti: sono chiamati in genere punti angolosi in senso largo, poi a volte si distinguono in sottocategorie come punti di cuspide e punti angolosi ( in senso stretto)
innanzitutto non devi parlare di punti di $RR$ in cui la derivata non esiste, ma di punti del dominio di $f$ in cui $f'$ esiste o meno.
distinguiamo i seguenti punti:
1. punti in cui $f$ non è definita (e quindi non è nemmeno derivabile).
2. punti in cui $f$ è definita, ma non è continua (e quindi non è derivabile).
3. punti in cui $f$ è definita e continua, ma non derivabile.
4. punti in cui $f$ è derivabile (e quindi anche continua).
i punti 1 sono poco interessanti, i punti 2 sono di discontinuità dovresti conoscere i tipi di discontinuità, i punti 4 sono derivabili, quindi sono "a posto".
i punti 3 di cui mi chiedi sono quelli più interessanti: sono chiamati in genere punti angolosi in senso largo, poi a volte si distinguono in sottocategorie come punti di cuspide e punti angolosi ( in senso stretto)
Il fatto che la derivata sia una funzione continua... quali informazioni sulla funzione di cui è derivata mi da?
ora penso che sia molto più chiara
ora penso che sia molto più chiara
"afovidius":
Il fatto che la derivata sia una funzione continua... quali informazioni sulla funzione di cui è derivata mi da?
nessuna in particolare, le stesse che sapere che la funzione è derivabile.
ma il fatto che la derivata sia continua mi dice che anche f(x) di partenza sia continua? Secondo me no... ora cerco di dare una spiegazione matematicamente corretta per questa intuizione
quello che hai scritto ha poco senso, magari intendevi:
il fatto che la funzione derivata sia continua, implica che la funzione di partenza è continua?
e tu dici che è falso, mentre è proprio vero, anzi il solo fatto che la funzione derivata esista implica che la funzione di partenza è continua.
rileggi i messaggi in questa discussione, devi schiarirti le idee.
il fatto che la funzione derivata sia continua, implica che la funzione di partenza è continua?
e tu dici che è falso, mentre è proprio vero, anzi il solo fatto che la funzione derivata esista implica che la funzione di partenza è continua.
rileggi i messaggi in questa discussione, devi schiarirti le idee.
immagina di tagliare con una retta orizzontale una funzione e di spostare la parte sopra in alto di un certo valore K... la derivata non cambierà... infatti le tangenti al grafico saranno sempre le stesse (come pendenza). Quindi...una funzione non continua può avere una derivata continua?
PS: avrò detto delle stupidaggini ...non prendetemi sul serio
PS: avrò detto delle stupidaggini ...non prendetemi sul serio
invece questa è una domanda non così sciocca, anzi è un dubbio lecito, per risolverlo ho dovuto pensarci un attimo:
se tu fai una cosa del genere, c'è un problema. supponiamo di avere una retta, diciamo $y=x$.
nel punto $x_0=0$ tracciamo la tua linea e la alziamo dopo lo $0$ di 1 quindi abbiamo la funzione che è
$y=x$ per $x<0$
$y=x+1$ per $x>=0$
in $x=0$ può assumere un solo valore, diciamo che assume il valore "alzato"
ma allora se facciamo il limite per $x to 0$ da destra e sinistra dei rapporti incrementali ci viene che la derivata destra e quella sinistra coincidono, e sono $1$. come ci aspettiamo, quindi la funzione sembra derivabile in $0$ anche se non è continua in tale punto.
ma c'è un errore
dove?
se tu fai una cosa del genere, c'è un problema. supponiamo di avere una retta, diciamo $y=x$.
nel punto $x_0=0$ tracciamo la tua linea e la alziamo dopo lo $0$ di 1 quindi abbiamo la funzione che è
$y=x$ per $x<0$
$y=x+1$ per $x>=0$
in $x=0$ può assumere un solo valore, diciamo che assume il valore "alzato"
ma allora se facciamo il limite per $x to 0$ da destra e sinistra dei rapporti incrementali ci viene che la derivata destra e quella sinistra coincidono, e sono $1$. come ci aspettiamo, quindi la funzione sembra derivabile in $0$ anche se non è continua in tale punto.
ma c'è un errore
dove?
ehm... guarda che io non lo trovo...
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