Continuità derivata= derivabilità funzione?

[afovidius]

Se una derivata è continua... allora la funzione di partenza è derivabile?

[blackbishop13]

allora ti dò un piccole aiuto:
l'errore è quando facciamo i rapporti incrementali, infatti è il passaggio che ho tralasciato

prova a farli per bene e vedi se c'è qualcosa che non va

[afovidius]

ok... ci proverò... torno quando ho finito (spero presto)

[haterofman]

Sia f:[a,b]->R derivabile (e quindi continua) in tutto [a,b], allora si può parlare di f':[a,b]->R. Può essere che la funzione derivata sia a sua volta continua nell'intervallo di def, ma può anche accadere che in alcuni punti di [a,b] (in cui comunque la f è derivabile e pertatnto f' ha valore!) la funz deriv f' non sia continua. Ad es:

f(x):=
x^2*sin(1/x) per x diverso da 0

0 per x=0


f'(x):=
2x*sin(1/x)-cos(1/x) per x diverso da 0

0 per x=0, poichè lim per x->0 di (x^2*sin(1/x)-0)/(x-0) = 0 (infinitesima per limitata)

Ma lim per x->0 di f'(x) ovvero lim x->0 di 2x*sin(1/x)-cos(1/x) non esiste, invece f'(0)=0.