Consigli integrale.

[Dario93]

Salve.Ma per calcolare l'integrale di 1/senx devo necessariamente ricorrere al metodo dell'integrazione per sostituzione?

[enrico___1]

Credo sia l'unico metodo. Procedi così

[math]
\int{{\frac{1}{\sin x}dx} = \int{\frac{\sin x}{\sin ^2 x}dx} = \int{\frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx }
[/math]

Poni

[math]t=\cos x[/math]

e risolvi.

[Dario93]

Grazie per la risposta . A questo punto devo trasformare il seno al numeratore in coseno?

[enrico___1]

Sì.

[math]dt=-\sin x dx[/math]

[Dario93]

Grazie

[ciampax]

In realtà per calcolare tale integrale si può procedere in altri due modi:

1) osservando che

[math]\sin x=2\sin(x/2)\cdot \cos(x/2)[/math]

e che

[math]1=\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2)[/math]

si ha

[math]\int\frac{\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cdot \cos(x/2)}\ dx=\\ \frac{1}{2}\int\left[\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}+\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}\right]\ dx=\\ -\log|\cos(x/2)|+\log|\sin(x/2)|+c=\log|\tan(x/2)|+c[/math]

2) usando le sostituzioni parametriche

[math]\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/math]

dove

[math]t=\tan(x/2)[/math]

e avendosi

[math]dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt[/math]

l'integrale diventa

[math]\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=\int\frac{dt}{t}=\log|t|+c=\log|\tan(x/2)|+c[/math]