Confusione sui valori assoluti..

[Mega-X]

Aiutate un povero disgraziato che è confuso..

ho un'equazione con dei valori assoluti, che è un quesito di ammissione alla normale http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf (esattamente il II dell'anno 2002-2003) di cui quando mi avrete chiarito questo dubbio, posterò la mia soluzione e vi chiederò di controllarne se ho fatto bene oppure ho preso una svista.. (per favore.. )

devo verificare per quali valori reali di $x in [0, pi]$ è verificata la seguente scrittura:

$log_(4)|sen(4x)| + log_(2)|sqrt(|cosx|)| = 0$

lo riscrivo come

$log_(4)|sen(4x)| = log_(2)|sqrt(|cosx|)| $

ed elevo al quadrato ambo i membri e ottengo

$|sen(4x)| = 2|sqrt(|cosx|)|$ (1)

ok ora arriviamo al punto.. io ho considerato l'intervallo $x in (0, pi/8)$ che è un intervallo in cui $sen(4x) > 0$ e $cosx < 0$ (2) (queste 2 disuguaglianze, per come sto procedendo io, mi servono per trovare i valori di $x$ che verificano la scrittura)

ora siccome la (2) dice che sicuramente $sen(4x) > 0$ e che $cosx < 0$ e considerando che la radice quadrata da valori eslusivamente positivo posso riscrivere la (1) come

$sen(4x) = 2sqrt(-cosx)$

così in modo da considerare gli intervalli $(pi/8, pi)$ e $(pi, pi+pi/8)$ (siccome il coseno è negativo per tali valori e quindi la radice non è reale)?!

Grazie a chi mi risponde..

Mega-X

[_Tipper]

"Mega-X":ed elevo al quadrato ambo i membri e ottengo

$|sen(4x)| = -2|sqrt(|cosx|)|$ (1)

Questo passaggio non mi convince... non è che si deve elevare qualcosa a qualcos'altro, bisogna solo applicare ad entrambi i membri un esponenziale, però, prima di far questo, si devono portare entrambi i logaritmi nella stessa base, ad esempio, lavorando su quello di destra:

$-\log_{2}|\sqrt{|\cos(x)|}| = - \frac{\log_{4}|\sqrt{|\cos(x)|}|}{\log_{4}2} = -2 \log_{4}|\sqrt{|\cos(x)|}|$ quindi l'equazione diventa

$\log_{4} |\sin(4x)| = \log_{4}(\frac{1}{|\cos(x)|})$

Ora si applica a entrambi i membri l'esponenziale con base $4$ e si ottiene:

$|\sin(4x)| = \frac{1}{|\cos(x)|}$

verificata per

$\sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x)}$

[Steven11]

Il seno è di 4x, non di x.

[_Tipper]

Ho copiato male il testo, edito.

[_Tipper]

Però mi accorgo ora che il testo non è quello che hai scritto Mega-X...

[Mega-X]

"Tipper":Però mi accorgo ora che il testo non è quello che hai scritto Mega-X...

mah è la copia sputata..

e poi

1. Ho sbagliato a scrivere, volevo scrivere elevato alla 4° non al quadrato..
2. $-\log_{2}|\sqrt{|\cos(x)|}| = - \frac{\log_{4}|\sqrt{|\cos(x)|}|}{\log_{4}2}$ come ti fa a venire tale risultato?

[Mega-X]

per la 2. ah cacchio $log_(a) b = (log_(c)(a))/(log_(c)(b))$

[Mega-X]

cioè alla fine posso dire che per $x in (0, pi/8)$ succede che $|sin(4x)| = sin(4x)$ e che $|cos(x)| = -cos(x)$ ?!

[Mega-X]

hmm dovrei fidarmi più di me stesso..

la risposta è si..

[Mega-X]

un ultima cosa e dopo non rompo più..

anzitutto ho scritto una cavolata:

"Mega-X":per $x in (0, pi/8)$ succede che $|cos(x)| = -cos(x)$

perché ancora pensavo ai logaritmi..

cmq tu hai detto che

"Tipper":$|\sin(4x)| = \frac{1}{|\cos(x)|}$

verificata per

$\sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x)}$

ma non risulta semplicemente che $sin(4x) = 1/cosx , x in (0, pi/8)$?

[fu^2]

$|\sin(4x)| = \frac{1}{|\cos(x)|}$
riscriviamola come

$|sin4x|*|cosx|=1 $ con $x!=pi/2+kpi$

bisogna distinguere i casi per togliere o meno il valre assoluto agli estremi

quindi $sin4x>0$,$cosx>0

e quindi vediamo gli intervalli in cui bisogna cambiare segno o meno

essendo che è un prodotto, quando solo uno dei due cambia segno, si cambia ad entrambi i fatori, quindi rimane
per $pi/4 $-sin(4x)cosx=1

per $0 $sin(4x)cosx=1

quindi come dice tipper $sin(4x)=-1/(cosx)$ nel primo caso, e $sin(4x)=1/(cosx)$ nel secondo caso, sempre con i loro intervalli.

quindi rimane $sin(4x)=+-1/(cosx)

[Sk_Anonymous]

La traccia postata da Mega-X non e' esatta (il secondo log e' anch'esso preso in modulo).
Quella giusta e' quindi:
$log_4|sin4x|+|log_2sqrt(|cosx|)|=0$
Poiche' $log_2a=2log_4a=log_4a^2$, si puo' anche scrivere:
$log_4|sin4x|+|log_4(|cosx|)|=0$
Ora,dato che e' sicuramente $|cosx|<=1$ ,sara' $log_4(|cosx|)|<=0$ e pertanto si ha:
$log_4|sin4x|-log_4|cosx|=0$ da cui $log_4|sin4x|=log_4|cosx|$
Ovvero:
$|sin4x|=|cosx|$ che si spezza in 2 equazioni:
(1) $sin4x=cosx$
(2) $sin4x=-cosx$
che si debbono poi risolvere in $]0,pi[$
karl