Confronto tra infinitesimi
Sto avendo alcuni problemi nel calcolo dei limiti; in particolare in quelli che si presentano nella forma indeterminata $0/0$ per $x->alpha$.
PRIMO LIMITE Devo confrontare $f(x)=1/x$ e $g(x) = e^(-x)$, per $x->+oo$. Siccome $x->+oo$ si tratta di infinitesimi simultanei. $lim_(x->+oo) (1/x)/e^(-x) => lim_(x->+oo) e^x/x$. Quest'ultimo limite si presenta nella forma indeterminata $oo/oo$, e non riesco a calcolarlo.
SECONDO LIMITE $f(x) = 1-cosx$ e $g(x) = x^4$, $x->0$. Provo a calcolare il limite del rapporto fra $f(x)$ e $g(x)$: $lim_(x->0) (1-cosx)/x^4 = lim_(x->0) (1-cosx)/x * 1/x^3 = 0 * oo$. Anche qui mi ritrovo con una forma indeterminata, e non riesco a proseguire.
TERZO LIMITE. Devo dimostrare che $xsin(1/x)$ è un infinitesimo per $x->0$. Pongo $f(x) = x$ e $g(x) = sin(1/x)$.
Se $xsin(1/x)$ è un infinitesimo per $x->0$ allora deve essere $lim_(x->0) x*sin(1/x) = 0$. Il limite per $x->0$ di $x$ è ovviamente 0, mentre $lim_(x->0) sin(1/x)$ non esiste. Non so se basti questo a concludere che allora $lim_(x->0) x*sin(1/x)$ è uguale a $0$.
In sostanza, mi trovo molto in difficoltà nel calcolo dei limiti che si presentano in forma indeterminata. Dovrei risolverli con metodi elementari (non ho ancora studiato particolari teoremi in merito), ma non riesco a capire come.
Potreste darmi una mano?
Grazie!
PRIMO LIMITE Devo confrontare $f(x)=1/x$ e $g(x) = e^(-x)$, per $x->+oo$. Siccome $x->+oo$ si tratta di infinitesimi simultanei. $lim_(x->+oo) (1/x)/e^(-x) => lim_(x->+oo) e^x/x$. Quest'ultimo limite si presenta nella forma indeterminata $oo/oo$, e non riesco a calcolarlo.
SECONDO LIMITE $f(x) = 1-cosx$ e $g(x) = x^4$, $x->0$. Provo a calcolare il limite del rapporto fra $f(x)$ e $g(x)$: $lim_(x->0) (1-cosx)/x^4 = lim_(x->0) (1-cosx)/x * 1/x^3 = 0 * oo$. Anche qui mi ritrovo con una forma indeterminata, e non riesco a proseguire.
TERZO LIMITE. Devo dimostrare che $xsin(1/x)$ è un infinitesimo per $x->0$. Pongo $f(x) = x$ e $g(x) = sin(1/x)$.
Se $xsin(1/x)$ è un infinitesimo per $x->0$ allora deve essere $lim_(x->0) x*sin(1/x) = 0$. Il limite per $x->0$ di $x$ è ovviamente 0, mentre $lim_(x->0) sin(1/x)$ non esiste. Non so se basti questo a concludere che allora $lim_(x->0) x*sin(1/x)$ è uguale a $0$.
In sostanza, mi trovo molto in difficoltà nel calcolo dei limiti che si presentano in forma indeterminata. Dovrei risolverli con metodi elementari (non ho ancora studiato particolari teoremi in merito), ma non riesco a capire come.
Potreste darmi una mano?
Grazie!
Risposte
Cosa intendi per "metodi elementari" ? Per esempio il confronto tra infiniti (e infinitesimi), la cosiddetta "gerarchia degli infiniti", la conosci?
Sì, l'ho appena studiata.
Ma perché ce l'hanno tutti con del'Hospital????
Il $lim_(x->0)x*sin(1/x)=0$ in quanto infinitestima per limitata fa infinitesima. Lo assicura un teorema, facilmente dimostrabile con il teorema del confronto, se ti piace fare la dimostrazione.
Ovviamente $\alpha(x)=x$ è la funzione infinitesima.
$\beta(x)=sen(1/x)$ è una funzione limitata.
Il $lim_(x->0)x*sin(1/x)=0$ in quanto infinitestima per limitata fa infinitesima. Lo assicura un teorema, facilmente dimostrabile con il teorema del confronto, se ti piace fare la dimostrazione.
Ovviamente $\alpha(x)=x$ è la funzione infinitesima.
$\beta(x)=sen(1/x)$ è una funzione limitata.
Nel limite $lim_(x->+oo) e^x/x$ potrei concludere che sia uguale a $oo$ solo perché $f(x)$ è di ordine superiore a $g(x)$, dove $f(x) = e^x$ e $g(x) = x$. Peraltro non saprei come determinare il segno.
Beh, il primo si risolve velocemente in quel modo, mentre per il secondo sul momento mi viene in mente un limite notevole (che presumo tu non abbia ancora visto); per la terza devi notare che uno dei fattori è limitato.
@Sir
Penso che per ora non abbia ancora studiato De L'Hopital
@HR
Se tutte e due le funzioni tendono a $+infty$ non vedo problemi per il segno
Penso che per ora non abbia ancora studiato De L'Hopital
@HR
Se tutte e due le funzioni tendono a $+infty$ non vedo problemi per il segno
@axpgn
Ah ok. Allora è scusato.
Ah ok. Allora è scusato.
Confermo di non aver ancora studiato De L'Hopital.
Comunque sia, grazie a voi sono riuscito a risolvere il primo e il terzo quesito; il secondo non lo riesco ancora a risolvere però. :/
Comunque sia, grazie a voi sono riuscito a risolvere il primo e il terzo quesito; il secondo non lo riesco ancora a risolvere però. :/
$lim_(x->0)[(1-cos(x))/x *1/x^3]=lim_(x->0)[(1-cos(x))/x^2*1/x^2]=[1/2*+infty]=+infty$
Limite notevole oK?
Limite notevole oK?
Sì, ma i limiti notevoli non credo li possa usare altrimenti avremmo finito già prima 
(almeno è quello che ho capito io …)
(almeno è quello che ho capito io …)
"axpgn":
per il secondo sul momento mi viene in mente un limite notevole (che presumo tu non abbia ancora visto);
Non avevo letto. Allora non saprei. O sviluppa con Taylor (se gli è stato introdotto) oppure dimostra il limite notevole:
$lim_(x->0)[(1-cos(x))/x^2]=lim_(x->0)[((1-cos(x))*(1+cos(x)))/(x^2*(1+cos(x)))]=lim_(x->0)[(1-cos^2(x))/(x^2*(1+cos(x)))]=$
$=lim_(x->0)[((sen(x))/x)^2/(1+cos(x))]=1^2/2=1/2$
@axpgn
come si può fare senza limiti notevoli?
"SirDanielFortesque":
$lim_(x->0)[(1-cos(x))/x *1/x^3]=lim_(x->0)[(1-cos(x))/x^2*1/x^2]=[1/2*+infty]=+infty$
Limite notevole oK?
è vero! Era davvero semplice...
Grazie mille!
Ma allora li hai studiati i limiti notevoli (che io non classificherei tra i metodi elementari) !
Come ripetiamo spesso, è importante sapere qual è il "livello" delle conoscenze di chi pone il problema, al fine di dargli la risposta adeguata senza sprecare risorse
Inoltre, sempre meglio un problema alla volta per evitare accavallamenti e confusione ...
Come ripetiamo spesso, è importante sapere qual è il "livello" delle conoscenze di chi pone il problema, al fine di dargli la risposta adeguata senza sprecare risorse
Inoltre, sempre meglio un problema alla volta per evitare accavallamenti e confusione ...
Hai ragione, in effetti sono stato un po' ambiguo quando ho parlato di "metodi elementari" (potevo farti presente la cosa quando hai scritto che l'avresti risolto con un limite notevole, ma appena ho letto ho pensato stessi parlando di limiti notevoli "più avanzati" [sempre se ce ne siano] rispetto a quelli che ho studiato io; insomma, credevo che avessi intuito che "quel tipo di limiti notevoli" li avessi già visti 
).
Comunque, per essere puntigliosi, nel mio primo messaggio ho cercato di risolvere il secondo quesito applicando il limite notevole $lim_(x->0) (1-cosx)/x = 0$ (anche se, per errore, ho scritto che il risultato fosse $1$ anziché $0$, quindi magari ti ha tratto in inganno il refuso).
).Comunque, per essere puntigliosi, nel mio primo messaggio ho cercato di risolvere il secondo quesito applicando il limite notevole $lim_(x->0) (1-cosx)/x = 0$ (anche se, per errore, ho scritto che il risultato fosse $1$ anziché $0$, quindi magari ti ha tratto in inganno il refuso).
"HowardRoark":
Comunque, per essere puntigliosi, nel mio primo messaggio ho cercato di risolvere il secondo quesito applicando il limite notevole $lim_( x→0) (1−cosx)/x = lim_(x->0) (1-cosx)/x = 0$ (anche se, per errore, ho scritto che il risultato fosse 1 1 anziché 0 0, quindi magari ti ha tratto in inganno il refuso).
Per essere puntigliosi il limite:
$lim_(x->0)(1-cos(x))/x=0$ vale zero come hai scritto.
in quanto non c'entra (quasi) nulla con
$lim_(x->0)(1-cos(x))/x^2$
"axpgn":
Ma allora li hai studiati i limiti notevoli !
@axpgn: Hai colto in flagranza HowardRoark
"SirDanielFortesque":
Per essere puntigliosi il limite:
$lim_(x->0)(1-cos(x))/x=0$ vale zero come hai scritto.
in quanto non c'entra (quasi) nulla con
$lim_(x->0)(1-cos(x))/x^2$
Sì, perché poi ho corretto, ma inizialmente avevo scritto che valesse $1$.
"SirDanielFortesque":
Ma perché ce l'hanno tutti con del'Hospital????
Il $lim_(x->0)x*sin(1/x)=0$ in quanto infinitestima per limitata fa infinitesima. Lo assicura un teorema, facilmente dimostrabile con il teorema del confronto, se ti piace fare la dimostrazione.
Ovviamente $\alpha(x)=x$ è la funzione infinitesima.
$\beta(x)=sen(1/x)$ è una funzione limitata.
Qual'è il teorema di cui parli?
Il teorema di cui parlo in realtà è di fatto un corollario del teorema del confronto. Ti riporto la dimostrazione per le successioni, tanto poi per le funzioni è la stessa cosa.
[ot]Siano ${a_n}_(n in NN)$ e ${b_n}_(ninNN)$ due succesioni reali tali che $lim_(n->+infty)a_n=0$ e $b_n$ limitata.
Allora $lim_(n->+infty)[a_n*b_n]=0$
$dim.$
poiché $b_n$ è limitata, allora esiste $MinRR^(+) : |b_n|=N_1, N_1 in NN$ vale a dire definitivamente
Per la definzione di limite, inoltre, si ha che $|a_n|<\epsilon, \forall n>=N_2, N_2 inNN$
Detto $N_0$ il massimo tra $N_1$ ed $N_2$, allora si ha
$|a_n*b_n|=N_0$.
Per arbitrarietà di $\epsilon$ si ha che $a_n*b_n->0$ per $n->+infty$.[/ot]
[ot]Siano ${a_n}_(n in NN)$ e ${b_n}_(ninNN)$ due succesioni reali tali che $lim_(n->+infty)a_n=0$ e $b_n$ limitata.
Allora $lim_(n->+infty)[a_n*b_n]=0$
$dim.$
poiché $b_n$ è limitata, allora esiste $MinRR^(+) : |b_n|
Per la definzione di limite, inoltre, si ha che $|a_n|<\epsilon, \forall n>=N_2, N_2 inNN$
Detto $N_0$ il massimo tra $N_1$ ed $N_2$, allora si ha
$|a_n*b_n|
Per arbitrarietà di $\epsilon$ si ha che $a_n*b_n->0$ per $n->+infty$.[/ot]
Adesso ho capito perfettamente grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo