Confronto tra infinitesimi
Buonasera 
Sono alle prese con un esercizio sul confronto tra infinitesimi, ma ho qualche difficoltà. Il testo è:
\( f(x) = e^{x^{2}} -1 \)
\( g(x) = 2x \)
per x -> 0
Qualche consiglio?
Grazie mille!
Sono alle prese con un esercizio sul confronto tra infinitesimi, ma ho qualche difficoltà. Il testo è:
\( f(x) = e^{x^{2}} -1 \)
\( g(x) = 2x \)
per x -> 0
Qualche consiglio?
Grazie mille!
Risposte
Potresti calcolare l'ordine di infinitesimo confrontandole con una "funzione campione" come $ h(x)=x $ :
$ lim_{x->0}(f(x))/x^alpha=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/x^alpha=linRR-{0} $ solo se $ alpha=2 $ (per il limite notevole);
$ lim_{x->0}(g(x))/x^alpha=lim_{x->0}(2x)/x^alpha=linRR-{0} $ solo se $ alpha=1 $ .
Da questo capisci che $ f(x) $ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $ g(x) $ cioè va a $ 0 $ "più velocemente".
Un altro modo è mostrare che $ lim_{x->0}(f(x))/(g(x))=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(2x)=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(2x)x/x=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(x^2)x/2=0 $ e la conclusione è la stessa.
$ lim_{x->0}(f(x))/x^alpha=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/x^alpha=linRR-{0} $ solo se $ alpha=2 $ (per il limite notevole);
$ lim_{x->0}(g(x))/x^alpha=lim_{x->0}(2x)/x^alpha=linRR-{0} $ solo se $ alpha=1 $ .
Da questo capisci che $ f(x) $ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $ g(x) $ cioè va a $ 0 $ "più velocemente".
Un altro modo è mostrare che $ lim_{x->0}(f(x))/(g(x))=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(2x)=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(2x)x/x=lim_{x->0}(e^(x^2)-1)/(x^2)x/2=0 $ e la conclusione è la stessa.
Molte grazie, la spiegazione è davvero chiara!
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