Confronto tra due numeri razionali - spiegazione

[lh43294y3b]

Dati due numeri razionali $a/b$ e $c/d$, essi possono essere facilmente confrontabili grazie al fatto che:

la frazione maggiore tra le due è quella il cui numeratore compare nel prodotto maggiore tra $a\cdot d$ e $c\cdot b$

Ad esempio il prodotto maggiore tra $3/4$ e $5/6$ è $5/6$ poichè $20=5\cdot 4>3\cdot 6=18$.

Sono curioso di sapere come è stata ricavata questa regoletta. O, in altri termini, come si può dimostrare.

[axpgn]

Scritta così, a me pare falsa ...

[lexuspace]

Ciao,

ha ragione axpgn a dire che è sbagliata la regola anche se poi l'esempio che fai è corretto.

"La frazione maggiore tra le due è quella il cui numeratore compare nel prodotto..."

[lh43294y3b]

Si, chiedo scusa. Avevo scritto "denominatore" al posto di "numeratore". Comunque si può dimostrare in qualche modo?

[axpgn]

Così ... dati quattro numeri positivi $a, b, c, d$ tali che $a/b>c/d$ allora $ad>bc$ ...

[lh43294y3b]

Già! Era così semplice! $a,b,c,d$ non devono necessariamente essere positivi, giusto? Basta che $b$ e $d$ siano non nulli.

Comunque grazie!

[axpgn]

"lh43294y3b":... $a,b,c,d$ non devono necessariamente essere positivi, giusto? ...

No, se non sono tutti positivi il giochetto non funziona sempre ...
Per esempio se $d$ fosse negativo allora da $a/b>c/d$ discende che $ad

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[mgrau]

Ma perchè, portarli al denominatore comune, è troppo complicato?

[lh43294y3b]

"mgrau":Ma perchè, portarli al denominatore comune, è troppo complicato?

Così si otterrebbe $a/b>c/d => a/b-c/d>0 => (ad+cb)/(bd)>0 => ad+cb>bd => ad>bd-cb => ad>b(d-c)$. E poi?

P.S.: Poichè $a/b>c/d$ implica che $ad>cb$, e dall'espressione di sopra $ad>b(d-c)$, allora $d-c=c => d=2c$

[mgrau]

"lh43294y3b": $a/b>c/d => a/b-c/d>0 => (ad+cb)/(bd)>0$

Forse ci si può fermare qui. Non mi pare che calcolare ad, cb, bd sia così difficile.

[lh43294y3b]

Si, ho sbagliato io un calcolo.

$(ad+cb)/(bd)>00>ad+cb>0=>ad>cb

Grazie!

[lh43294y3b]

Si, ho sbagliato io un calcolo.

$(ad+cb)/(bd)>00>ad+cb>0=>ad>cb$

Grazie!

[mgrau]

"lh43294y3b":

$(ad+cb)/(bd)>00>ad+cb>0=>ad>cb$

Veramente non è proprio così. $(ad+cb)/(bd)>0 => ad + cb > 0 => $ (semmai) $ad > -cb$
Ma comunque $(ad+cb)/(bd)>0 =>$ soltanto che $ ad + cb$ e $bd$ hanno lo stesso segno