Conferma: successioni

[fu^2]

data la successione

$a_n{(2 " if n=1"),(1/3a_(n-1) "if n>1):}

dire quanto vale $sum_1^ooa_n

allora ho iniziato a scrivere un pò di termini della serie...
$a_1=2
$a_2=2/3
$a_3=2/9
$a_4=2/27
...
$a_n=2/3^(n-1)

quindi $sum_1^ooa_n=2+sum_2^ooa_n=2+int_2^(+oo)a_ndn=2+int_2^(+oo)2/3^(n-1)dn
che risolto viene $2+lim_(zto+oo)(2/3^(z-1)*1/ln(1/3)-2/3^(1)*1/ln(1/3))

quindi la sommatoria da come risultato $2-2/3^(1)*1/ln(1/3)

è giusto risolto in questo modo?

[giuseppe87x]

E' una semplice progressione geometrica convergente la cui somma è $a_(1)/(1-q)$ dove $q$ è la ragione che nel nostro caso è $1/3$. Mi spieghi da dove salta fuori quell'integrale?

[fu^2]

boh ho provato a fare in maniera un èò diversa dal solito ...

ho pensato che $sum_1^ooa_n$ è un integrale, ma il mio dubbio che non mi convinceva dell'esattezza del metodo è che $ninRR$

quindi è sbagliatissimo come pensavo, giusto?

[Sk_Anonymous]

E' sbagliato perche' un integrale (definito) e' la somma di infiniti infinitesini,per dirla
alla buona.Mentre i termini di una serie sono finiti.
karl

[Fioravante Patrone1]

"fu^2":
ho pensato che $sum_1^ooa_n$ è un integrale
...
quindi è sbagliatissimo come pensavo, giusto?

è un integrale (nel senso di Lebesgue) rispetto alla "misura che conta"
non sto scherzando! Cerca in rete, se vuoi (in inglese: "counting measure")

Quello detto da karl va bene come intuizione per le misure "non atomiche", come la ordinaria misura di Lebesgue su $RR$.
La teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue estende la teoria dell'integrazione di Riemann, quella che si studia al liceo e anche ai primi anni di Università, di solito


Detto questo, non ti serve a niente, comunque, vederlo come integrale.
Ed è magari un po' rischioso, all'esame: se poi ti chiedono la teoria della misura di Lebesgue potresti trovarti in difficoltà
Meglio vederlo come serie geometrica (vedi giuseppe87x)

[fu^2]

grazie fioravanti, ora guarderò cos'è la misura che conta

non mi sognerei mai di farlo in sede d'esame, però a casa per sperimentare è sempre utile.. anche se il risultato è sbagliato...

grazie a tutti! ciaoooo

[giuseppe87x]

Magari ti posso dire una cosa che forse può interessarti. Se hai una serie a termini positivi ed $f$ è una funzione non crescente tale che $f(n)=a_(n)$ per ogni $n$ allora la serie converge se e solo se converge $int_(1)^(infty)a_(n)dn$; nel tuo caso hai trovato che l'integrale converge e dunque anche la serie converge come si può verificare facilmente.

[Fioravante Patrone1]

"giuseppe87x":$int_(1)^(infty)a_(n)dn$

giuseppe87x, visto che nel post ti riferisci al solito integrale improprio, la notazione sopra indicata non è corretta (abuso di cut&paste?).
E' $int_(1)^(infty)f(x)dx$ (o anche $int_(1)^(infty)f(n)dn$, volendo). Ma $a$ è definita solo sui naturali e quindi non può essere integrata (secondo Riemann, ancorché improprio)

[fu^2]

"giuseppe87x":Magari ti posso dire una cosa che forse può interessarti. Se hai una serie a termini positivi ed $f$ è una funzione non crescente tale che $f(n)=a_(n)$ per ogni $n$ allora la serie converge se e solo se converge $int_(1)^(infty)a_(n)dn$; nel tuo caso hai trovato che l'integrale converge e dunque anche la serie converge come si può verificare facilmente.

però l'integrale mi dice solo che conbverge, non anche a che valore, giusto?

[Fioravante Patrone1]

"fu^2":
però l'integrale mi dice solo che conbverge, non anche a che valore, giusto?

giusto


Anche se si può applicare il teorema alle "code" per avere una stima dell'errore che si commette approssimando la serie con una sua ridotta n-esima.
S'intende che, come giuseppe87x, parlo in generale, laddove non sia disponibile la formuletta. Nel caso specifico da cui parte il post, non c'è bisogno di questo armamentario.

[giuseppe87x]

"Fioravante Patrone":[quote="giuseppe87x"]$int_(1)^(infty)a_(n)dn$

giuseppe87x, visto che nel post ti riferisci al solito integrale improprio, la notazione sopra indicata non è corretta (abuso di cut&paste?).
E' $int_(1)^(infty)f(x)dx$ (o anche $int_(1)^(infty)f(n)dn$, volendo). Ma $a$ è definita solo sui naturali e quindi non può essere integrata (secondo Riemann, ancorché improprio)[/quote]

Si scusate, avevo la testa fra le nuvole quando scrivevo.